Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações explícitas que temos:
- O termo geral da série é
. - A série é uma soma infinita dos termos
. - Cada termo
é positivo ( para todo ).
Não vou resolver nada ainda; apenas deixei claras as perguntas e os dados do enunciado.
Passo 2
O que significa “a série convergir”? Precisamos entender o conceito de série e convergência de séries:
- Definição: a série
converge se a sequência das somas parciais tem um limite finito quando . Ou seja, existe tal que . - Se esse limite não existe ou é
(no caso de termos positivos), dizemos que a série diverge.
Então, para a nossa série, precisamos estudar o comportamento das somas parciais
quando
.
Passo 3
Vou usar um teste clássico que é fácil de aplicar aqui (e que costuma aparecer em provas): o Teste da Integral (vou explicar direitinho).
- Enunciado do Teste da Integral (versão prática): seja
contínua, positiva e decrescente. Se , então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge (ou seja, tem valor finito). Se a integral diverge, a série também diverge. - Vamos aplicar isso com
. Primeiro verificar as hipóteses do teste: -
é contínua em , logo em está contínua. - Para
, , então é positiva. - A derivada é
para , portanto é decrescente em .
Logo, as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
-
Passo 4
Calcular a integral imprópria correspondente:
Fazendo a integral primitiva:
Logo
Tomando o limite quando
,
Portanto a integral imprópria
diverge (vai para infinito).
Passo 5
Aplicando o Teste da Integral: como
diverge e
satisfaz as hipóteses (positiva, contínua, decrescente), concluímos que a série
também diverge.
Passo 6
(Mini-aula de intuição alternativa, sem cálculo) Existe também um argumento elementar por agrupamento que mostra por que a série diverge — é útil porque não usa integral e dá intuição:
- Escreva as somas em blocos cujos tamanhos dobram:
- Observe que em cada bloco os termos são maiores ou iguais ao menor termo do bloco. Por exemplo,
e assim por diante. Cada bloco (depois dos dois primeiros termos) soma pelo menos
.
- Como há infinitos blocos, os somatórios parciais crescem sem limite (adicionamos
infinitas vezes), logo a série diverge.
Essa prova é frequentemente chamada de argumento de comparação por blocos e é bem acessível.
Passo 7
Resumo final e incentivo: tanto pelo Teste da Integral quanto pelo argumento de blocos concluímos que a série harmônica
não converge; suas somas parciais crescem sem limite (crescem como o logaritmo, intuitivamente). Boa notícia: é uma das séries mais famosas e a prova é padrão — se aparecer algo parecido na prova, já sabe dois jeitos de atacar. Força aí!
Resposta
A série
é divergente.