Determine se as séries a seguir são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
é convergente ou divergente. Informações explícitas que temos:
  • O termo geral da série é a_n=\frac{1}{n}.
  • A série é uma soma infinita dos termos a_1,a_2,a_3,\dots.
  • Cada termo a_n é positivo ( \frac{1}{n}>0 para todo n\ge1).
    Não vou resolver nada ainda; apenas deixei claras as perguntas e os dados do enunciado.

Passo 2

O que significa “a série convergir”? Precisamos entender o conceito de série e convergência de séries:
  • Definição: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se a sequência das somas parciais S_N=\sum_{n=1}^{N} a_ntem um limite finito quando N\to\infty. Ou seja, existe L\in\mathbb{R} tal que \lim_{N\to\infty} S_N = L.
  • Se esse limite não existe ou é +\infty (no caso de termos positivos), dizemos que a série diverge.
    Então, para a nossa série, precisamos estudar o comportamento das somas parciais
S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n}
quando N\to\infty.

Passo 3

Vou usar um teste clássico que é fácil de aplicar aqui (e que costuma aparecer em provas): o Teste da Integral (vou explicar direitinho).
  • Enunciado do Teste da Integral (versão prática): seja f:(1,\infty)\to\mathbb{R} contínua, positiva e decrescente. Se a_n=f(n), então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dxconverge (ou seja, tem valor finito). Se a integral diverge, a série também diverge.
  • Vamos aplicar isso com f(x)=\frac{1}{x}. Primeiro verificar as hipóteses do teste:
    • f(x)=\frac{1}{x} é contínua em (0,\infty), logo em (1,\infty) está contínua.
    • Para x>0, f(x)>0, então é positiva.
    • A derivada é f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}<0 para x>0, portanto f é decrescente em (0,\infty).
      Logo, as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 4

Calcular a integral imprópria correspondente:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{R\to\infty} \int_{1}^{R} \frac{1}{x}\,dx.
Fazendo a integral primitiva:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C.
Logo
\int_{1}^{R} \frac{1}{x}\,dx = \ln R - \ln 1 = \ln R.
Tomando o limite quando R\to\infty,
\lim_{R\to\infty} \ln R = +\infty.
Portanto a integral imprópria \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx diverge (vai para infinito).

Passo 5

Aplicando o Teste da Integral: como \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx diverge e f(x)=\frac{1}{x} satisfaz as hipóteses (positiva, contínua, decrescente), concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
também diverge.

Passo 6

(Mini-aula de intuição alternativa, sem cálculo) Existe também um argumento elementar por agrupamento que mostra por que a série diverge — é útil porque não usa integral e dá intuição:
  • Escreva as somas em blocos cujos tamanhos dobram: \begin{aligned} S &= 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots \end{aligned}
  • Observe que em cada bloco os termos são maiores ou iguais ao menor termo do bloco. Por exemplo, \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \ge 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2},
\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} \ge 4\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{2},
e assim por diante. Cada bloco (depois dos dois primeiros termos) soma pelo menos \tfrac{1}{2}.
  • Como há infinitos blocos, os somatórios parciais crescem sem limite (adicionamos \tfrac{1}{2} infinitas vezes), logo a série diverge.
    Essa prova é frequentemente chamada de argumento de comparação por blocos e é bem acessível.

Passo 7

Resumo final e incentivo: tanto pelo Teste da Integral quanto pelo argumento de blocos concluímos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
não converge; suas somas parciais crescem sem limite (crescem como o logaritmo, intuitivamente). Boa notícia: é uma das séries mais famosas e a prova é padrão — se aparecer algo parecido na prova, já sabe dois jeitos de atacar. Força aí!

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} é divergente.

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