Encontre a soma da série geométrica infinita \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a soma da série infinita
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n.
Informações dadas:
A soma é de uma série infinita cujos termos são \left(\frac{1}{3}\right)^n para n=0,1,2,\dots.
O termo inicial (quando n=0) é \left(\tfrac{1}{3}\right)^0.
A pergunta é: qual é o valor numérico da soma dessa série infinita?
Passo 2
Vou construir a soma parcial e manipular algebraicamente para obter uma fórmula. Defina a soma parcial até N como
S_N=\sum_{n=0}^{N} r^n,
onde r é a razão comum dos termos. Aqui, r=\left(\tfrac{1}{3}\right). Expliquei o que é cada símbolo:
S_N é a soma dos primeiros N+1 termos.
r é o número que é multiplicado a cada passo para obter o próximo termo.
Passo 3
Agora faço a operação clássica para somas geométricas. Escrevo S_N e rS_N e subtraio:
S_N = 1 + r + r^2 + \cdots + r^N,
rS_N = r + r^2 + \cdots + r^{N+1}.
Subtraindo as duas igualdades obtemos
S_N - rS_N = 1 - r^{N+1}.
Fatorando S_N(1-r) vem
S_N = \frac{1 - r^{N+1}}{1-r},
para r\neq 1. Esta é a fórmula da soma parcial de uma série geométrica. Cada passo aqui é só alinhar termos iguais e cancelar — é a mesma ideia de “subtrair linhas iguais” para eliminar termos.
Passo 4
Para passar da soma parcial S_N à soma infinita S, tomamos o limite quando N\to\infty:
Esse limite existe (e dá S=\dfrac{1}{1-r}) se e somente se r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Isso acontece exatamente quando |r|<1, porque potências de um número com valor absoluto menor que 1 tendem a zero. No nosso caso r=\tfrac{1}{3} e \left|\tfrac{1}{3}\right|<1, então a condição de convergência está satisfeita.
Passo 5
Aplicando r=\tfrac{1}{3} na expressão do limite, como r^{N+1}\to 0, temos
S=\frac{1}{1-r}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}}.
Agora faço a conta passo a passo:
1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},
\frac{1}{\tfrac{2}{3}}=\frac{3}{2}.
Se preferir ver números parciais para checar que faz sentido: S_0=1, S_1=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}, S_2=\tfrac{4}{3}+\tfrac{1}{9}=\tfrac{13}{9}\approx1,444, e isso vai se aproximando de \tfrac{3}{2}=1,5.