Use o teorema anterior para demonstrar a convergência de a_{n}=\frac{\sin n}{n}.
Passo 1
O enunciado pede que eu demonstre a convergência da sequência a_{n}=\frac{\sin n}{n} usando “o teorema anterior”. As informações relevantes que temos são:
A sequência é dada por a_{n}=\frac{\sin n}{n} para n\in\mathbb{N}.
O enunciado nos manda usar o teorema anterior (vou interpretar esse teorema como o teorema do confronto / “squeeze theorem”, pois é o mais usado para este tipo de sequência).
O objetivo final é provar que a_{n} converge e indicar o seu limite.
Passo 2
Explico rapidamente o teorema do confronto (teorema anterior que vamos usar) de forma didática:
O teorema diz o seguinte. Se temos três sequências (b_n), (a_n) e (c_n) tais que, para todo n suficientemente grande,
Intuição: se a_n fica “espremida” entre duas sequências que ambas vão para o mesmo número L, então a_n também tem que ir para L. Na prova formal em prova-ε, usamos as desigualdades para controlar a distância de a_n a L.
Passo 3
Aplicando uma propriedade elementar da função seno: para todo número real x vale |\sin x|\le 1. Em particular, para todo inteiro n,
|\sin n| \le 1.
A partir disso, dividindo por n>0, obtemos a desigualdade para nossa sequência:
e como \lim_{n\to\infty} -\frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0, segue pelo teorema do confronto que
\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0.
Pronto, demonstramos a convergência de a_n e encontramos o limite.
Passo 6
Para reforçar: mostro rapidamente como seria a prova ε–N (método que você pode usar na prova se pedirem rigor ε–N).
Seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\frac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil+1). Então, para todo n\ge N temos 1/n \le 1/N < \varepsilon. Usando |\sin n|\le1 obtemos