Use o teorema anterior para demonstrar a convergência de a_{n}=\frac{\sin n}{n}.

Passo 1

O enunciado pede que eu demonstre a convergência da sequência a_{n}=\frac{\sin n}{n} usando “o teorema anterior”. As informações relevantes que temos são:
  • A sequência é dada por a_{n}=\frac{\sin n}{n} para n\in\mathbb{N}.
  • O enunciado nos manda usar o teorema anterior (vou interpretar esse teorema como o teorema do confronto / “squeeze theorem”, pois é o mais usado para este tipo de sequência).
    O objetivo final é provar que a_{n} converge e indicar o seu limite.

Passo 2

Explico rapidamente o teorema do confronto (teorema anterior que vamos usar) de forma didática:
O teorema diz o seguinte. Se temos três sequências (b_n), (a_n) e (c_n) tais que, para todo n suficientemente grande,
b_n \le a_n \le c_n,
e se
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L,
então
\lim_{n\to\infty} a_n = L.
Intuição: se a_n fica “espremida” entre duas sequências que ambas vão para o mesmo número L, então a_n também tem que ir para L. Na prova formal em prova-ε, usamos as desigualdades para controlar a distância de a_n a L.

Passo 3

Aplicando uma propriedade elementar da função seno: para todo número real x vale |\sin x|\le 1. Em particular, para todo inteiro n,
|\sin n| \le 1.
A partir disso, dividindo por n>0, obtemos a desigualdade para nossa sequência:
-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}.
Aqui usei a informação básica |\sin n|\le1 e o fato de n>0 para manter a desigualdade correta ao dividir.

Passo 4

Agora analiso as sequências que formam as cotas:
  • A sequência \left(-\frac{1}{n}\right) tem limite
\lim_{n\to\infty} \left(-\frac{1}{n}\right)=0,
pois \frac{1}{n}\to0 quando n\to\infty.
  • A sequência \left(\frac{1}{n}\right) tem limite
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0.
Portanto ambas as sequências que “espremem” a_n têm o mesmo limite L=0.

Passo 5

Agora aplico o teorema do confronto: como para todo n vale
-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n},
e como \lim_{n\to\infty} -\frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0, segue pelo teorema do confronto que
\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0.
Pronto, demonstramos a convergência de a_n e encontramos o limite.

Passo 6

Para reforçar: mostro rapidamente como seria a prova ε–N (método que você pode usar na prova se pedirem rigor ε–N).
Seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\frac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil+1). Então, para todo n\ge N temos 1/n \le 1/N < \varepsilon. Usando |\sin n|\le1 obtemos
\left|\frac{\sin n}{n}-0\right|=\left|\frac{\sin n}{n}\right|\le\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isto mostra formalmente que \frac{\sin n}{n}\to 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}=0

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