Enuncie e exemplifique os seguintes critérios:
  • Critério da comparação com limite

Passo 1

O enunciado pede que eu enuncie (dê a forma precisa) e exemplifique o “critério da comparação com limite”.
Informações dadas: nada além do pedido — quero a declaração do critério e exemplos que mostrem como usá‑lo na prática.

Passo 2

Enunciação do critério (forma principal).
Sejam \{a_n\}_{n\ge1} e \{b_n\}_{n\ge1} sequências com a_n\ge0 e b_n\ge0 para todo n. Suponha que exista o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\in[0,\infty].
Então valem as seguintes conclusões:
\text{(i) Se }0<L<\infty\text{, então }\sum a_n \text{ e } \sum b_n \text{ convergem ou divergem juntas.}ã
\text{(ii) Se }L=0\text{ e } \sum b_n \text{ converge, então } \sum a_n \text{ também converge.}ãé
\text{(iii) Se }L=\infty\text{ e } \sum b_n \text{ diverge, então } \sum a_n \text{ também diverge.}ãé
Essas são as formas usuais do critério da comparação por limite.

Passo 3

Intuição didática (por que isso funciona).
Pense em a_n e b_n como tendo o mesmo comportamento quando \frac{a_n}{b_n} tende a um número finito e positivo: então, para n grande, a_n é aprox. uma constante vezes b_n. Se são aproximadamente múltiplos um do outro, a soma de um tem o mesmo destino (convergir ou divergir) da soma do outro. Nos casos L=0 ou L=\infty temos comparações unilaterais úteis (um termo é muito menor que o outro, ou muito maior).

Passo 4

Prova curta e intuitiva do caso 0<L<\infty (explicação passo a passo).
Suponha L\in(0,\infty). Então existe N e constantes c_1,c_2>0 tais que, para todo n\ge N,
c_1 b_n \le a_n \le c_2 b_n.
Como explicar isso sem teoremas abstratos? Pelo limite, para n grande \frac{a_n}{b_n} fica perto de L, então fica limitado entre, por exemplo, L/2 e 3L/2. Isso dá as desigualdades acima (pegando c_1=L/2 e c_2=3L/2). Agora aplicamos o critério da comparação direta: se \sum b_n converge então \sum c_2 b_n converge e, pela desigualdade a_n\le c_2 b_n, \sum a_n converge; se \sum b_n diverge então \sum c_1 b_n diverge e, pela desigualdade a_n\ge c_1 b_n, \sum a_n diverge. Logo as duas séries têm o mesmo comportamento.

Passo 5

Explicação dos casos L=0 e L=\infty (corolários práticos).
  • Caso L=0: significa que a_n é muito menor que b_n para n grande. Mais precisamente, existe N e c>0 tal que a_n\le c\,b_n para n\ge N (podemos tomar c pequeno). Se \sum b_n converge, então pela comparação direta \sum a_n converge também. Observe que se \sum b_n diverge nada se conclui só por L=0.
  • Caso L=\infty: significa que a_n é muito maior que b_n para n grande. Então existe N e C>0 tal que a_n\ge C\,b_n para n\ge N. Se \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge pela comparação direta. Novamente, se \sum b_n converge nada se conclui apenas por L=\infty.

Passo 6

Conceitos úteis que você precisa entender (mastigando): p‑séries e como escolher b_n.
  • A p‑série é \sum \frac{1}{n^p}. Ela converge se, e só se, p>1; diverge se p\le1. Isso é um resultado padrão que você deve decorar — é o principal comparador.
  • Dica prática para escolher \{b_n\}: olhe o termo geral a_n e retenha apenas os fatores de maior ordem (polinômios: compare os maiores potências de n; radicais e exponenciais: compare as partes dominantes). Normalmente você vai comparar com alguma p‑série \frac{1}{n^p} ou com uma sequência exponencial do tipo r^n.

Passo 7

Exemplo 1 — uso típico com limite finito e positivo.
Problema: verificar convergência de \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}.
Escolha b_n=\dfrac{1}{n^2} (p‑série com p=2>1, que converge). Calcule o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{n^3+1}}{\dfrac{1}{n^2}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^3}{n^3+1} = 1.
Como o limite é L=1\in(0,\infty), pelas regras do critério da comparação por limite as duas séries têm o mesmo comportamento. Como \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^2} converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}\quad\text{converge.}

Passo 8

Exemplo 2 — caso L=0 (corolário).
Problema: comparar \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} com \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}. Tome a_n=\dfrac{1}{n^2} e b_n=\dfrac{1}{n^{3/2}}. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{-2}}{n^{-3/2}} = \lim_{n\to\infty}n^{-1/2} = 0.
Aqui L=0. Sabemos que \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n^{3/2}} converge (p‑série com p=3/2>1). Pelo corolário do critério, como L=0 e \sum b_n converge, \sum a_n converge também. (Isso é um exemplo simples: a_n é ainda menor que b_n para n grande.)

Passo 9

Exemplo 3 — caso L=\infty (corolário).
Problema: verificar a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}. Tome a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} e b_n=\dfrac{1}{n}. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{-1/2}}{n^{-1}} = \lim_{n\to\infty}n^{1/2} = \infty.
Aqui L=\infty. Sabemos que \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n} diverge (série harmônica). Pelo corolário, como L=\infty e \sum b_n diverge, a série \sum a_n=\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} também diverge. (É consistente com a regra das p‑séries: p=\tfrac12\le1 diverge.)

Passo 10

Resumo de estratégia prática para a prova (como agir rápido e sem erro).
  1. Faça uma estimativa assintótica do termo a_n (p.ex. retendo as maiores potências de n).
  2. Escolha b_n simples (normalmente \dfrac{1}{n^p} ou r^n) com comportamento conhecido.
  3. Calcule \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}.
  4. Aplique as três regras do critério (caso 0<L<\infty; caso L=0 com \sum b_n convergente; caso L=\infty com \sum b_n divergente).
    Se cair em situação indeterminada (ex.: L=0 mas \sum b_n diverge), tente trocar b_n por outra sequência mais apropriada.

Resposta

Sejam a_n\ge0 e b_n\ge0 e L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}.
Se 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas.
Se L=0 e \sum b_n converge, então \sum a_n converge.
Se L=\infty e \sum b_n diverge, então \sum a_n diverge.
Exemplo 1: \sum \dfrac{n}{n^3+1} converge (comparando com \dfrac{1}{n^2}, limite 1).
Exemplo 2: \sum \dfrac{1}{n^2} converge (comparando com \dfrac{1}{n^{3/2}}, limite 0 e comparador converge).
Exemplo 3: \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge (comparando com \dfrac{1}{n}, limite \infty e comparador diverge).

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