Enuncie e exemplifique os seguintes critérios:
- Critério da comparação com limite
Passo 1
O enunciado pede que eu enuncie (dê a forma precisa) e exemplifique o “critério da comparação com limite”.
Informações dadas: nada além do pedido — quero a declaração do critério e exemplos que mostrem como usá‑lo na prática.
Informações dadas: nada além do pedido — quero a declaração do critério e exemplos que mostrem como usá‑lo na prática.
Passo 2
Enunciação do critério (forma principal).
Sejam e
sequências com
e
para todo
. Suponha que exista o limite
Sejam
Então valem as seguintes conclusões:
Essas são as formas usuais do critério da comparação por limite.
Passo 3
Intuição didática (por que isso funciona).
Pense em e
como tendo o mesmo comportamento quando
tende a um número finito e positivo: então, para
grande,
é aprox. uma constante vezes
. Se são aproximadamente múltiplos um do outro, a soma de um tem o mesmo destino (convergir ou divergir) da soma do outro. Nos casos
ou
temos comparações unilaterais úteis (um termo é muito menor que o outro, ou muito maior).
Pense em
Passo 4
Prova curta e intuitiva do caso
(explicação passo a passo).
Suponha . Então existe
e constantes
tais que, para todo
,
Suponha
Como explicar isso sem teoremas abstratos? Pelo limite, para
grande
fica perto de
, então fica limitado entre, por exemplo,
e
. Isso dá as desigualdades acima (pegando
e
). Agora aplicamos o critério da comparação direta: se
converge então
converge e, pela desigualdade
,
converge; se
diverge então
diverge e, pela desigualdade
,
diverge. Logo as duas séries têm o mesmo comportamento.
Passo 5
Explicação dos casos
e
(corolários práticos).
- Caso
: significa que é muito menor que para grande. Mais precisamente, existe e tal que para (podemos tomar pequeno). Se converge, então pela comparação direta converge também. Observe que se diverge nada se conclui só por . - Caso
: significa que é muito maior que para grande. Então existe e tal que para . Se diverge, então diverge pela comparação direta. Novamente, se converge nada se conclui apenas por .
Passo 6
Conceitos úteis que você precisa entender (mastigando): p‑séries e como escolher
.
- A p‑série é
. Ela converge se, e só se, ; diverge se . Isso é um resultado padrão que você deve decorar — é o principal comparador. - Dica prática para escolher
: olhe o termo geral e retenha apenas os fatores de maior ordem (polinômios: compare os maiores potências de ; radicais e exponenciais: compare as partes dominantes). Normalmente você vai comparar com alguma p‑série ou com uma sequência exponencial do tipo .
Passo 7
Exemplo 1 — uso típico com limite finito e positivo.
Problema: verificar convergência de .
Escolha (p‑série com
, que converge). Calcule o limite:
Problema: verificar convergência de
Escolha
Como o limite é
, pelas regras do critério da comparação por limite as duas séries têm o mesmo comportamento. Como
converge, concluímos que
Passo 8
Exemplo 2 — caso
(corolário).
Problema: comparar com
. Tome
e
. Calculamos
Problema: comparar
Aqui
. Sabemos que
converge (p‑série com
). Pelo corolário do critério, como
e
converge,
converge também. (Isso é um exemplo simples:
é ainda menor que
para
grande.)
Passo 9
Exemplo 3 — caso
(corolário).
Problema: verificar a série . Tome
e
. Calculamos
Problema: verificar a série
Aqui
. Sabemos que
diverge (série harmônica). Pelo corolário, como
e
diverge, a série
também diverge. (É consistente com a regra das p‑séries:
diverge.)
Passo 10
Resumo de estratégia prática para a prova (como agir rápido e sem erro).
- Faça uma estimativa assintótica do termo
(p.ex. retendo as maiores potências de ). - Escolha
simples (normalmente ou ) com comportamento conhecido. - Calcule
. - Aplique as três regras do critério (caso
; caso com convergente; caso com divergente).
Se cair em situação indeterminada (ex.:mas diverge), tente trocar por outra sequência mais apropriada.
Resposta
Sejam
e
e
.
Se , então
e
convergem ou divergem juntas.
Se e
converge, então
converge.
Se e
diverge, então
diverge.
Se
Se
Se
Exemplo 1:
converge (comparando com
, limite
).
Exemplo 2: converge (comparando com
, limite
e comparador converge).
Exemplo 3: diverge (comparando com
, limite
e comparador diverge).
Exemplo 2:
Exemplo 3: