Determine o simétrico de A em relação ao ponto Q em cada um dos seguintes casos : A(-5,2) e Q(1/2,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto simétrico de $ A(-5, 2) $ em relação ao ponto $ Q\left(\frac{1}{2}, 3\right) $. A gente vai trabalhar com geometria analítica, especificamente usando a fórmula do ponto simétrico. Para isso, vamos precisar das coordenadas dos pontos $ A $ e $ Q $ e aplicar a fórmula que relaciona esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um ponto simétrico em relação a outro ponto. Imagine que o ponto $ Q $ é como um espelho. O ponto simétrico de $ A $ em relação a $ Q $ é aquele que está exatamente na mesma distância de $ Q $, mas no lado oposto. Em outras palavras, $ Q $ está exatamente no meio do segmento que liga $ A $ ao seu ponto simétrico.

Passo 3

Para encontrar o ponto simétrico, usamos a seguinte fórmula:
C(xc, yc) = (2xq - xa, 2yq - ya)
Onde:
  • $ C(x_c, y_c) $ é o ponto simétrico que queremos encontrar.
  • $ Q(x_q, y_q) $ são as coordenadas do ponto em relação ao qual estamos fazendo a simetria.
  • $ A(x_a, y_a) $ são as coordenadas do ponto original.

Passo 4

Vamos aplicar os valores que temos na fórmula:
  • Coordenadas de $ Q $: $ x_q = \frac{1}{2} $ e $ y_q = 3 $
  • Coordenadas de $ A $: $ x_a = -5 $ e $ y_a = 2 $
Substituindo na fórmula:
Q
xq = 12

Resposta

O ponto simétrico de $ A(-5, 2) $ em relação a $ Q\left(\frac{1}{2}, 3\right) $ é $ C(6, 4) $.

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