Sabe-se que o ângulo entre os vetores → u ( p , p − 4 , 0 ) e → v ( 2 , 0 , − 2 ) vale 45°. Determine o valor de p real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u = (p, , p - 4, , 0) e v = (2, , 0, , -2), e o ângulo entre eles é de 45 graus. Nosso objetivo aqui é descobrir qual o valor de p que faz isso acontecer. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores e a fórmula que relaciona o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar (também chamado de produto interno) entre dois vetores. Se temos dois vetores a = (a1, , a2, , a3) e b = (b1, , b2, , b3), o produto escalar é dado por:
a cdot b = a1 cdot b1 + a2 cdot b2 + a3 cdot b3
Esse produto também se relaciona com o ângulo theta entre os vetores através da seguinte fórmula:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Onde |a| e |b| são as normas dos vetores, que calculamos usando:
|a| = raiza1^2 + a2^2 + a3^2

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre u e v:
u cdot v = p cdot 2 + (p - 4) cdot 0 + 0 cdot (-2) = 2p + 0 + 0 = 2p

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos vetores u e v:
Para u:
|u| = raizp^2 + (p - 4)^2 + 0^2 = raizp^2 + (p - 4)^2
Vamos expandir (p - 4)^2:
(p - 4)^2 = p^2 - 8p + 16
Então:
|u| = raizp^2 + p^2 - 8p + 16 = raiz2p^2 - 8p + 16
Para v:
|v| = raiz2^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz4 + 0 + 4 = raiz8 = 2raiz2

Passo 5

Sabemos que o ângulo theta entre os vetores é de 45 graus, então cos(45°) = raiz22.
Agora, vamos usar a fórmula do produto escalar:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Substituindo o que já calculamos:
2p = raiz2p^2 - 8p + 16 cdot 2raiz2 cdot raiz22
Simplificando a expressão:
2p = raiz2p^2 - 8p + 16 cdot 2
Dividindo ambos os lados por 2:
p = raiz2p^2 - 8p + 16

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar p. Primeiro, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
p^2 = 2p^2 - 8p + 16
Reorganizando os termos:
p^2 - 2p^2 + 8p - 16 = 0 - p^2 + 8p - 16 = 0 p^2 - 8p + 16 = 0
Essa é uma equação quadrática da forma ax^2 + bx + c = 0, onde a = 1, b = -8, c = 16.
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
p = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Calculando o discriminante ( De):
De
Como De, há uma única solução real:
p = 82 = 4

Resposta

O valor de p é igual a 4.

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