Sabe-se que o ângulo entre os vetores → u ( p , p − 4 , 0 ) e → v ( 2 , 0 , − 2 ) vale 45°. Determine o valor de p real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
, e o ângulo entre eles é de 45 graus. Nosso objetivo aqui é descobrir qual o valor de
que faz isso acontecer. Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar entre vetores e a fórmula que relaciona o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar (também chamado de produto interno) entre dois vetores. Se temos dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Esse produto também se relaciona com o ângulo
entre os vetores através da seguinte fórmula:
Onde
e
são as normas dos vetores, que calculamos usando:
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as normas dos vetores
e
:
Para
:
Vamos expandir
:
Então:
Para
:
Passo 5
Sabemos que o ângulo
entre os vetores é de 45 graus, então
.
Agora, vamos usar a fórmula do produto escalar:
Substituindo o que já calculamos:
Simplificando a expressão:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Reorganizando os termos:
Essa é uma equação quadrática da forma
, onde
,
,
.
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante (
):
Como
, há uma única solução real:
Resposta
O valor de
é igual a 4.