Determine, simplificando ao máximo, a derivada de cada uma função a seguir. f(x) = (1/16) * ln((x-4)/x) + (1/(4*x)) - 2*pi;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a derivada de logaritmos e de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o primeiro termo: . A gente sabe que a derivada de é , então precisamos achar a derivada dentro do logaritmo.

Passo 3

Vamos chamar . Agora, vamos encontrar . Usando a regra do quociente, onde então :
  • então
  • então
Então:

Passo 4

Agora, aplicando a derivada do logaritmo:
Então, a derivada do primeiro termo é:

Passo 5

Agora, vamos derivar o segundo termo: . A derivada de é , então:

Passo 6

O terceiro termo é uma constante: . A derivada de uma constante é zero, então não precisamos nos preocupar com ele.

Passo 7

Agora, juntando tudo, a derivada da função é:

Resposta

A derivada simplificada de é:

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