Determine o sinal associado a cada uma das seguintes permutações de
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Passo 1
O enunciado pede o sinal (paridade) da permutação em dada por
ou seja, em notação de imagem única pi=(4,1,2,5,3). O conteúdo necessário é a definição de paridade de permutações, que podemos determinar contando inversões.
Passo 2
Definimos uma inversão de pi como um par de índices i<j tais que pi(i)>pi(j). O sinal da permutação é dado por
sgn(pi)=(-1)^inv(pi),
onde inv(pi) é o número total de inversões.
Passo 3
Em pi=(4,1,2,5,3), o elemento 4 gera inversões com 1, 2 e 3, somando 3 inversões; o elemento 1 não gera inversões; o elemento 2 não gera inversões; o elemento 5 gera uma inversão com 3. Portanto,
inv(pi)=3+0+0+1=4
Passo 4
Como inv(pi)=4, temos
sgn(pi)=(-1)^4=+1,
ou seja, a permutação é par.
Resposta
A permutação pi=(4,1,2,5,3) é par e seu sinal é +1.