Determine o sinal associado a cada uma das seguintes permutações de S=1,2,3,4,5
41253

Passo 1

O enunciado pede o sinal (paridade) da permutação pi em S=1,2,3,4,5 dada por
pi= 1 & 2 & 3 & 4 & 5 4 & 1 & 2 & 5 & 3 ,
ou seja, em notação de imagem única pi=(4,1,2,5,3). O conteúdo necessário é a definição de paridade de permutações, que podemos determinar contando inversões.

Passo 2

Definimos uma inversão de pi como um par de índices i<j tais que pi(i)>pi(j). O sinal da permutação é dado por
sgn(pi)=(-1)^inv(pi),
onde inv(pi) é o número total de inversões.

Passo 3

Em pi=(4,1,2,5,3), o elemento 4 gera inversões com 1, 2 e 3, somando 3 inversões; o elemento 1 não gera inversões; o elemento 2 não gera inversões; o elemento 5 gera uma inversão com 3. Portanto,
inv(pi)=3+0+0+1=4

Passo 4

Como inv(pi)=4, temos
sgn(pi)=(-1)^4=+1,
ou seja, a permutação é par.

Resposta

A permutação pi=(4,1,2,5,3) é par e seu sinal é +1.

Exercícios relacionados