Exercício 14. Sejam E e F bases tais que
MF E=(rrr -1 & 0 & a 2 & 1 & b 1 & 0 & c )
Determine a, b, c in R sabendo que u=(1,1,2)E=(2,1,0)F.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de mudança de base de E para F, ou seja,
MF E= -1 & 0 & a 2 & 1 & b 1 & 0 & c
satisfaz
[vec v]F=MFE,[vec v]E
Aqui sabemos que
[vec u]E=112 e [vec u]F=210,
e queremos ajustar a,b,cinR para que essa relação seja verdadeira.

Passo 2

Escrevemos então a condição
MFE,112 =210

Passo 3

Fazendo a multiplicação de matriz por vetor, obtemos o sistema
-1cdot1 + 0cdot1 + acdot2 = 2, 2cdot1 + 1cdot1 + bcdot2 = 1, 1cdot1 + 0cdot1 + ccdot2 = 0

Passo 4

Resolvendo cada equação:
Da primeira -1 + 2a = 2 vem 2a = 3 e então
a = tfrac32
Da segunda 2 + 1 + 2b = 1 3 + 2b = 1 e
b = -1
Da terceira 1 + 2c = 0 resulta 2c = -1 e
c = -tfrac12

Resposta

a = tfrac32,;b = -1,;c = -tfrac12

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