Determine o sinal associado a cada uma das seguintes permutações de
34125
34125
Passo 1
Estamos em
e a permutação dada em notação de uma linha é
isto é, ela envia
,
,
,
,
. O conteúdo aqui é teoria de grupos finitos, mais especificamente o conceito de paridade de permutações. Para resolver, vamos transformar em ciclos disjuntos e contar quantos transposições isso equivale.
Passo 2
Vamos achar a decomposição em ciclos disjuntos. Partindo de
:
, depois
, fechando o ciclo
.
Partindo de :
, depois
, fechando o ciclo
.
O elemento é fixo, dá o ciclo trivial
.
Logo a permutação se escreve
Partindo de
O elemento
Logo a permutação se escreve
Passo 3
Cada ciclo de comprimento 2 é uma transposição. Aqui temos duas transposições
e
. Como o sinal de uma permutação é dado por
, temos
isto é, a permutação é par.
Resposta
O sinal da permutação
é
(par).