Determine o sinal associado a cada uma das seguintes permutações de S=1,2,3,4,5
34125

Passo 1

Estamos em S5 e a permutação dada em notação de uma linha é
34125,
isto é, ela envia 1mapsto3, 2mapsto4, 3mapsto1, 4mapsto2, 5mapsto5. O conteúdo aqui é teoria de grupos finitos, mais especificamente o conceito de paridade de permutações. Para resolver, vamos transformar em ciclos disjuntos e contar quantos transposições isso equivale.

Passo 2

Vamos achar a decomposição em ciclos disjuntos. Partindo de 1:
1mapsto3, depois 3mapsto1, fechando o ciclo (1,3).
Partindo de 2:
2mapsto4, depois 4mapsto2, fechando o ciclo (2,4).
O elemento 5 é fixo, dá o ciclo trivial (5).
Logo a permutação se escreve
(1,3)(2,4)

Passo 3

Cada ciclo de comprimento 2 é uma transposição. Aqui temos duas transposições (1,3) e (2,4). Como o sinal de uma permutação é dado por (-1)^#transposiçõesçõ, temos
sinal = (-1)^2 = +1,
isto é, a permutação é par.

Resposta

O sinal da permutação 34125 é +1 (par).

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