Exercício 15. Sejam E=e1, e2, e3 e F=f1, f2, f3 bases tais que
& f1=-3 e1+e2+e3 & f2=e1-2 e2+e3 & f3=e1+2 e2
a) Determine a matriz mudança de base ME F.
b) Determine as coordenadas do vetor u=(-1,3,5)F na base E.
c) Determine as coordenadas do vetor v=(11,-22,-11)E na base F.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3,
E=vec e1,vec e2,vec e3, F=vec f1,vec f2,vec f3,
com as seguintes expressões de cada vec fj na base E:
vec f1=-3vec e1+vec e2+vec e3, vec f2=vec e1-2vec e2+vec e3, vec f3=vec e1+2vec e2
Queremos (a) a matriz de mudança de base MEF que leva coordenadas em F para coordenadas em E, (b) converter vec u=(-1,3,5)F para coordenadas em E e (c) converter vec v=(11,-22,-11)E para coordenadas em F.

Passo 2

Para montar MEF, colocamos em cada coluna as coordenadas de vec fj na base E. Assim,
vec f1mapsto -311, vec f2mapsto 1-21, vec f3mapsto 120
Logo,
MEF = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0

Passo 3

Para obter vec u em coordenadas de E, fazemos
[vec u]E = MEF,[vec u]F = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0 -135
Calculando componente a componente:
[vec u]E = -3cdot(-1)+1cdot3+1cdot5 1cdot(-1)-2cdot3+2cdot5 1cdot(-1)+1cdot3+0cdot5 =11-22

Passo 4

Para achar
Chamando , o sistema é
Da terceira equação .

Resposta

a) MEF = -3 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 1 & 0
b) [u]E = (11,,-2,,2)^T
c) [v]F = l(-tfrac667,,-tfrac117,,-tfrac1107r)^T

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