Determine se o sistema é causal ou não-causal:
Passo 1
O enunciado pede: decidir se o sistema dado é causal ou não. O sistema fornecido é
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A equação do sistema relaciona a saída
no instante com a entrada no instante . - A questão solicita uma classificação em causal ou não causal.
Passo 2
Definição prática de causalidade (explicada devagar):
- Um sistema é causal se, para qualquer instante fixo
, o valor da saída naquele instante depende apenas dos valores da entrada para (ou seja, presente e passado), e não depende de valores da entrada em instantes futuros . - Forma equivalente e útil para provas: se duas entradas
e satisfazem para todo , então para o sistema ser causal deve ocorrer . Essa é uma forma matemática que dá para usar em contraexemplos.
Passo 3
Aplicando a definição ao sistema
:
- Para um instante arbitrário
, a saída é
. - Observe que
envolve a entrada no instante , que é claramente um instante maior que . Ou seja, depende de um valor da entrada no futuro (relativo a ).
Passo 4
Construção de um contraexemplo explícito (forma típica usada em prova):
- Escolha
(qualquer instante serve; aqui escolhe-se 0 por simplicidade). - Defina duas entradas que são idênticas para
mas diferentes em . Por exemplo, -
para todo . -
para todo , e (em particular ).
Essas duas entradas satisfazempara todo .
-
- Calcule as saídas no instante
: -
. -
.
-
- Como
apesar de e coincidirem para , isso viola a condição de causalidade. Portanto o sistema não é causal.
Passo 5
Regra prática rápida para usar na prova (dica):
- Se o sistema envolve
com (isto é, atraso), então o valor depende de instantes e pode ser causal. - Se aparece
com (isto é, avanço no tempo), então a saída depende do futuro e o sistema é não causal. - No caso dado aparece
(avanço de 1), então é não causal.
Resposta
Não causal.