Determine se o sistema é causal ou não-causal:
y(t)=x(t+1)

Passo 1

O enunciado pede: decidir se o sistema dado é causal ou não. O sistema fornecido é
y(t)=x(t+1).
Informações relevantes:
  • A equação do sistema relaciona a saída y no instante t com a entrada x no instante t+1.
  • A questão solicita uma classificação em causal ou não causal.

Passo 2

Definição prática de causalidade (explicada devagar):
  • Um sistema é causal se, para qualquer instante fixo t_0, o valor da saída naquele instante y(t_0) depende apenas dos valores da entrada x(\tau) para \tau \le t_0 (ou seja, presente e passado), e não depende de valores da entrada em instantes futuros \tau > t_0.
  • Forma equivalente e útil para provas: se duas entradas x_1 e x_2 satisfazem x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau \le t_0, então para o sistema ser causal deve ocorrer y_1(t_0)=y_2(t_0). Essa é uma forma matemática que dá para usar em contraexemplos.

Passo 3

Aplicando a definição ao sistema y(t)=x(t+1):
  • Para um instante arbitrário t_0, a saída é
    y(t_0)=x(t_0+1).
  • Observe que x(t_0+1) envolve a entrada no instante t_0+1, que é claramente um instante maior que t_0. Ou seja, y(t_0) depende de um valor da entrada no futuro (relativo a t_0).

Passo 4

Construção de um contraexemplo explícito (forma típica usada em prova):
  • Escolha t_0=0 (qualquer instante serve; aqui escolhe-se 0 por simplicidade).
  • Defina duas entradas que são idênticas para \tau\le 0 mas diferentes em \tau>0. Por exemplo,
    • x_1(\tau)=0 para todo \tau.
    • x_2(\tau)=0 para todo \tau\le 0, e x_2(1)=1 (em particular x_2(1)\neq x_1(1)).
      Essas duas entradas satisfazem x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le 0.
  • Calcule as saídas no instante t_0=0:
    • y_1(0)=x_1(1)=0.
    • y_2(0)=x_2(1)=1.
  • Como y_1(0)\neq y_2(0) apesar de x_1 e x_2 coincidirem para \tau\le 0, isso viola a condição de causalidade. Portanto o sistema não é causal.

Passo 5

Regra prática rápida para usar na prova (dica):
  • Se o sistema envolve x(t - a) com a\ge 0 (isto é, atraso), então o valor depende de instantes \le t e pode ser causal.
  • Se aparece x(t + a) com a>0 (isto é, avanço no tempo), então a saída depende do futuro e o sistema é não causal.
  • No caso dado aparece x(t+1) (avanço de 1), então é não causal.

Resposta

Não causal.

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