Determine se o sistema é instantâneo ou dinâmico:
y(t)=2 x(t)

Passo 1

O enunciado dá a relação entre entrada e saída do sistema:
y(t)=2\,x(t).
A pergunta é: determinar se o sistema é instantâneo (sem memória) ou dinâmico (com memória). Não há outras informações no enunciado além desta equação válida para todos os instantes t.

Passo 2

Definição prática e útil para a prova: um sistema é chamado instantâneo (ou sem memória) se, para todo instante \,t_0, a saída naquele instante depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante \,x(t_0) — e não de valores passados ou futuros da entrada. Formalmente: se para quaisquer duas entradas x_1(t) e x_2(t) que satisfaçam x_1(t_0)=x_2(t_0) tem-se necessariamente y_1(t_0)=y_2(t_0), então o sistema é sem memória. Caso contrário (se a saída em t_0 depender de x em tempos diferentes de t_0 ou de integrais/somas ao longo do tempo), o sistema é dinâmico (com memória).

Passo 3

Aplique a definição ao sistema dado. Tome dois sinais quaisquer x_1(t) e x_2(t) tais que x_1(t_0)=x_2(t_0) para algum instante fixo \,t_0. As saídas correspondentes são
y_1(t_0)=2\,x_1(t_0), \qquad y_2(t_0)=2\,x_2(t_0).
Como x_1(t_0)=x_2(t_0), conclui-se que y_1(t_0)=y_2(t_0). Isso vale para qualquer t_0. Portanto a saída em um instante depende somente do valor da entrada nesse mesmo instante, e não de valores passados ou futuros.

Passo 4

Conclusão técnica: o sistema é instantâneo (sem memória). Para fixar o raciocínio, alguns exemplos rápidos:
  • Exemplos instantâneos: y(t)=3x(t), y(t)=\sin(x(t)), y(t)=x^2(t) — todos dependem só de x(t).
  • Exemplos dinâmicos: y(t)=x(t-1) (dependência de valor passado), y(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^t x(\tau)\,d\tau (integração sobre o passado), y(t)=\dfrac{d}{dt}x(t) (usa vizinhança de t) — estes têm memória.
Dica rápida para a prova: procure por t-deslocamentos ( t\pm alguma coisa), integrais, somas sobre tempo, ou operadores diferenciais — se aparecerem, é dinâmico; se a expressão usa apenas x(t) no instante atual (tal como aqui), é instantâneo.

Resposta

Instantâneo (sistema sem memória)

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