Determine se o sistema é estável ou não-estável no sentido BIBO (bounded input / bounded output):
Passo 1
O enunciado dá o sistema descrito por
e pede para determinar se o sistema é estável no sentido BIBO (bounded input / bounded output).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A equação do sistema é
. - Não há restrição explícita sobre o conjunto de tempo
(assume‑se o caso usual ou ).
O que é pedido: - Decidir se, para todo sinal de entrada limitado (i.e. para todo
com ), a saída também permanece limitada (i.e. ). Se isso vale para todo input limitado, o sistema é BIBO estável; caso contrário, não é.
Passo 2
Relembrando claramente a definição de estabilidade BIBO (explicando devagar como gosto):
Um sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada for limitada — isto é, existir uma constante
tal que
para todo
— então a saída
também é limitada por alguma constante
(possivelmente dependente de
), ou seja existe
tal que
para todo
.
Em termos práticos: para qualquer e para qualquer
com
, deve existir
finito com
.
Um sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada
Em termos práticos: para qualquer
Passo 3
Aplicando essa definição ao sistema dado: suponha que
seja uma entrada limitada, então existe
com
A saída é
logo, tomando módulo,
Para que o sistema seja BIBO estável, precisaríamos de uma constante
tal que
para todo
. A desigualdade acima dá
. Mas
é infinito quando
pode crescer sem limite (por exemplo
). Assim a desigualdade generalizada leva a
ou seja não existe um
que valha para todos os
.
Passo 4
Construção de um contraexemplo simples (isto garante que o sistema NÃO é BIBO estável): escolha uma entrada limitada fácil, por exemplo
para todo
. Essa entrada é limitada com
. A saída associada é
cujo módulo
é claramente não limitado quando
. Portanto já existe uma entrada limitada cuja saída é ilimitada; isso é suficiente para concluir que o sistema não é BIBO estável.
Passo 5
Observação útil para a prova/para a hora da prova: um teste rápido que sempre funciona aqui é procurar uma entrada constante não nula. Se para uma equação do tipo
a função
não for limitada em
, então o sistema não será BIBO estável, porque para
obtemos
que herda a não‑limitação de
. No nosso caso
não é limitada, então o sistema falha na condição BIBO.
Resposta
O sistema não é BIBO estável.