Determine se o sistema é estável ou não-estável no sentido BIBO (bounded input / bounded output):
y(t)=t x(t)

Passo 1

O enunciado dá o sistema descrito por y(t)=t\,x(t) e pede para determinar se o sistema é estável no sentido BIBO (bounded input / bounded output).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação do sistema é y(t)=t\,x(t).
  • Não há restrição explícita sobre o conjunto de tempo t (assume‑se o caso usual t\in\mathbb{R} ou t\ge 0).
    O que é pedido:
  • Decidir se, para todo sinal de entrada limitado (i.e. para todo x(t) com \sup_{t}|x(t)|<\infty), a saída y(t) também permanece limitada (i.e. \sup_{t}|y(t)|<\infty). Se isso vale para todo input limitado, o sistema é BIBO estável; caso contrário, não é.

Passo 2

Relembrando claramente a definição de estabilidade BIBO (explicando devagar como gosto):
Um sistema é BIBO estável se, sempre que a entrada x(t) for limitada — isto é, existir uma constante M tal que |x(t)|\le M para todo t — então a saída y(t) também é limitada por alguma constante K (possivelmente dependente de M), ou seja existe K<\infty tal que |y(t)|\le K para todo t.
Em termos práticos: para qualquer M e para qualquer x com |x(t)|\le M, deve existir K(M) finito com \sup_{t}|y(t)|\le K(M).

Passo 3

Aplicando essa definição ao sistema dado: suponha que x(t) seja uma entrada limitada, então existe M com
|x(t)|\le M\quad\text{para todo }t.
A saída é
y(t)=t\,x(t),
logo, tomando módulo,
|y(t)|=|t|\,|x(t)|\le |t|\,M.
Para que o sistema seja BIBO estável, precisaríamos de uma constante K tal que |y(t)|\le K para todo t. A desigualdade acima dá |y(t)|\le M|t|. Mas \sup_{t}|t| é infinito quando t pode crescer sem limite (por exemplo t\to\infty). Assim a desigualdade generalizada leva a
\sup_{t}|y(t)| \le M\cdot\sup_{t}|t| = M\cdot\infty = \infty,
ou seja não existe um K<\infty que valha para todos os t.

Passo 4

Construção de um contraexemplo simples (isto garante que o sistema NÃO é BIBO estável): escolha uma entrada limitada fácil, por exemplo x(t)=1 para todo t. Essa entrada é limitada com M=1. A saída associada é
y(t)=t\cdot 1 = t,
cujo módulo |y(t)|=|t| é claramente não limitado quando t\to\infty. Portanto já existe uma entrada limitada cuja saída é ilimitada; isso é suficiente para concluir que o sistema não é BIBO estável.

Passo 5

Observação útil para a prova/para a hora da prova: um teste rápido que sempre funciona aqui é procurar uma entrada constante não nula. Se para uma equação do tipo y(t)=g(t)\,x(t) a função g(t) não for limitada em t, então o sistema não será BIBO estável, porque para x(t)=1 obtemos y(t)=g(t) que herda a não‑limitação de g. No nosso caso g(t)=t não é limitada, então o sistema falha na condição BIBO.

Resposta

O sistema não é BIBO estável.

Exercícios relacionados