Classifique e resolva os sistemas:
\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y-z=0 \\\ x+2 y+4 z=0 \\\ x-14 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x+3y-z=0\\[4pt] x+2y+4z=0\\[4pt] x-14z=0 \end{cases}
e pede que a gente o classifique (se é possível, impossível, determinado, indeterminado) e que o resolva (encontre todas as soluções). As informações relevantes são exatamente as três equações acima; não há termos independentes diferentes de zero (o lado direito é todo zero), logo é um sistema homogêneo.]

Passo 2

Observação útil para resolver: quando uma das equações isola uma variável (ou permite isolá-la facilmente), o método de substituição é simples e direto. Aqui a terceira equação já está bem simples: \;x-14z=0. Podemos isolar \;x em função de \;z. Isolar significa escrever uma variável como expressão das outras, para depois substituir nas outras equações.

Passo 3

Isolando \;x na terceira equação:
x-14z=0 \implies x=14z.
Expliquei o passo: subtrai-se -14z dos dois lados ou soma-se 14z a ambos os lados para deixar x sozinho.

Passo 4

Substituímos \;x=14z na segunda equação \;x+2y+4z=0. Fazendo a substituição:
14z + 2y + 4z = 0.
Agora somamos os termos semelhantes em z: 14z+4z=18z. Assim:
2y + 18z = 0.
Isolando y:
2y = -18z \implies y = -9z.
Expliquei: dividimos ambos os lados por 2 para obter y em função de z.

Passo 5

Agora substituímos \;x=14z e \;y=-9z na primeira equação \;2x+3y-z=0 para ver se tudo é consistente:
2(14z) + 3(-9z) - z = 0.
Calculando termo a termo: 2\cdot 14z = 28z, 3\cdot (-9z) = -27z. Então
28z -27z - z = 0 \implies 0 = 0.
Chegamos a uma identidade verdadeira, o que significa que a primeira equação é consequência das outras duas (é linearmente dependente das outras). Nenhuma contradição aparece.

Passo 6

Conclusão sobre a existência/infinitude de soluções: como não apareceu contradição (como 0=1), o sistema é compatível. Mas uma das equações é redundante (gera a identidade 0=0), então temos menos equações independentes que incógnitas — isso gera soluções infinitas. Para parametrizar as soluções, escolhemos um parâmetro livre. Como todas as expressões foram escritas em função de z, adotamos:
z = t,\quad t\in\mathbb{R}.
Substituindo nas expressões obtidas:
x = 14z = 14t,\qquad y = -9z = -9t.
Portanto a família de soluções é
(x,y,z) = (14t,\,-9t,\,t) = t\,(14,\,-9,\,1),\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Comentário sobre classificação por posto (opcional, mas instrutivo): as linhas do sistema original são vetores das coordenadas (2,3,-1), (1,2,4) e (1,0,-14). Dá para verificar que a primeira é combinação linear das outras duas (por exemplo (2,3,-1)=\tfrac{3}{2}(1,2,4)+\tfrac{1}{2}(1,0,-14)), logo o posto da matriz de coeficientes é 2. Como o posto é menor que o número de incógnitas 3, e como o sistema é homogêneo, o espaço de soluções tem dimensão 3-2=1 — isto é, uma família unidimensional de soluções, que parametrizamos com t.

Resposta

Sistema compatível indeterminado.
(x,y,z)=t(14,-9,1),\\ t\in\mathbb{R}

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