Determine se o sistema linear autônomo dado possui uma solução periódica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se o sistema linear autônomo dado tem uma solução periódica. O sistema é:
Para resolver isso, vamos usar álgebra linear e teoria de sistemas diferenciais. Precisamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes e ver se eles são puramente imaginários, o que indicaria soluções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. A matriz dos coeficientes $ A $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores da matriz $ A $, precisamos resolver a equação característica:
Onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ representa os autovalores.
Passo 4
Vamos calcular o determinante $ \det(A - \lambda I) $:
Simplificando:
Passo 5
Expandindo a expressão:
Passo 6
Resolvendo para $ \lambda^2 $:
Então, os autovalores são:
Passo 7
Para que o sistema tenha soluções periódicas, os autovalores precisam ser puramente imaginários. Isso ocorre quando o termo dentro da raiz é negativo:
Resolvendo a desigualdade:
Resposta
O sistema linear autônomo possui soluções periódicas se e somente se $ N_{0} > 2 $.