Determine se o sistema linear autônomo dado possui uma solução periódica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se o sistema linear autônomo dado tem uma solução periódica. O sistema é:
x^prime = x + N0 y y^prime = -dfracx2 - y
Para resolver isso, vamos usar álgebra linear e teoria de sistemas diferenciais. Precisamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes e ver se eles são puramente imaginários, o que indicaria soluções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. A matriz dos coeficientes $ A $ é:
A

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores da matriz $ A $, precisamos resolver a equação característica:
A
Onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ representa os autovalores.

Passo 4

Vamos calcular o determinante $ \det(A - \lambda I) $:
det(A - lambda I)
Simplificando:
det( 1 - lambda & N0 -dfrac12 & -1 - lambda ) = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (-dfrac12)N0

Passo 5

Expandindo a expressão:
-(1 - lambda)(1 + lambda) + dfracN02 = 0
-(1 - lambda^2) + dfracN02 = 0
lambda^2 - 1 + dfracN02 = 0

Passo 6

Resolvendo para $ \lambda^2 $:
lambda^2
Então, os autovalores são:
lambda^2 = 1 - dfracN02

Passo 7

Para que o sistema tenha soluções periódicas, os autovalores precisam ser puramente imaginários. Isso ocorre quando o termo dentro da raiz é negativo:
1 - dfracN02 < 0
Resolvendo a desigualdade:
dfracN02 > 1 implies N0 > 2

Resposta

O sistema linear autônomo possui soluções periódicas se e somente se $ N_{0} > 2 $.

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