Deseja-se cercar um campo que está a margem de um muro. O custo da cerca que será paralela ao muro é de
e de
nos dois extremos. Qual a maior área que pode ser cercada a custo de
?
Passo 1
O problema pede para cercar três lados de um campo junto a um muro, com custos diferentes: R$ 12/m para o lado paralelo ao muro e R$ 8/m para cada um dos dois lados perpendiculares. O conteúdo é otimização de área com restrição de custo, e vamos usar cálculo (derivada) para encontrar o máximo.
Passo 2
Vamos chamar de x (em m) o comprimento do lado paralelo ao muro (aquele de custo R$ 12/m) e y (em m) o comprimento de cada um dos dois lados perpendiculares (custo R$ 8/m). A área do campo é A= x·y.
Passo 3
A restrição de custo total é dada por:
ou seja
Passo 4
Da equação do custo isolamos x em função de y:
Passo 5
Substituímos x na expressão da área para obter A em função de y:
Passo 6
Para maximizar, derivamos A(y) e igualamos a zero:
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Passo 7
Substituindo y em x = 300 - \tfrac{4}{3}y, obtemos:
A área máxima é
Resposta
16875 m²