Deseja-se cercar um campo que está a margem de um muro. O custo da cerca que será paralela ao muro é de R e de e de nos dois extremos. Qual a maior área que pode ser cercada a custo de 8,00?

Passo 1

O problema pede para cercar três lados de um campo junto a um muro, com custos diferentes: R$ 12/m para o lado paralelo ao muro e R$ 8/m para cada um dos dois lados perpendiculares. O conteúdo é otimização de área com restrição de custo, e vamos usar cálculo (derivada) para encontrar o máximo.

Passo 2

Vamos chamar de x (em m) o comprimento do lado paralelo ao muro (aquele de custo R$ 12/m) e y (em m) o comprimento de cada um dos dois lados perpendiculares (custo R$ 8/m). A área do campo é A= x·y.

Passo 3

A restrição de custo total é dada por:
12x + 8y + 8y = 3600
ou seja
12x + 16y = 3600

Passo 4

Da equação do custo isolamos x em função de y:
12x = 3600 - 16y
x = 300 - tfrac43y

Passo 5

Substituímos x na expressão da área para obter A em função de y:
A(y) = x·y = l(300 - tfrac43yr)y = 300y - tfrac43y^2

Passo 6

Para maximizar, derivamos A(y) e igualamos a zero:
A'(y) = 300 - tfrac83y = 0
Logo
tfrac83y = 300 Rightarrow y = 300·38 = 112,5 m

Passo 7

Substituindo y em x = 300 - \tfrac{4}{3}y, obtemos:
x = 300 - tfrac43·112,5 = 300 - 150 = 150 m
A área máxima é
Amax = x·y = 150 · 112,5 = 16875,m^2

Resposta

16875 m²

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