Determine se o sistema linear autônomo dado possui uma solução periódica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se o sistema linear autônomo dado tem uma solução periódica. Isso está dentro da matéria de sistemas dinâmicos ou equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar analisar os autovalores da matriz do sistema, pois eles nos dizem como as soluções se comportam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz. O sistema dado é:
Podemos representar isso como:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores da matriz $ A $. Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ representa os autovalores. Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores $ \lambda $. A fórmula de Bhaskara é:
Simplificando o discriminante:
Então:
Passo 5
Agora, analisamos os autovalores. Para o sistema ter soluções periódicas, os autovalores precisam ser números complexos puros, ou seja, sem parte real. Isso acontece quando o discriminante ($ \Delta $) é negativo. Mas no nosso caso:
O discriminante é sempre positivo, então os autovalores são reais e distintos. Isso significa que não há oscilações periódicas no sistema.
Resposta
Não, o sistema linear autônomo dado não possui uma solução periódica.