Determine se o sistema linear é consistente. Caso afirmativo ecnontre a solução geral.
r x1+x2+2 x3+2 x4+x5=1 2 x1+2 x2+4 x3+4 x4+3 x5=1 2 x1+2 x2+4 x3+4 x4+2 x5=2 3 x1+5 x2+8 x3+6 x4+5 x5=3

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com cinco incógnitas x1,x2,x3,x4,x5 e quatro equações. Precisamos verificar se ele é consistente e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral. O conteúdo que vamos usar é eliminação de Gauss: montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares de linha e depois fazer retro-substituição.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada e aplicando
R2 R2 - 2,R1, R3 R3 - 2,R1, R4 R4 - 3,R1,
obtemos o sistema equivalente
x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 1, 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + x5 = -1, 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0, 0x1 + 2x2 + 2x3 + 0x4 + 2x5 = 0

Passo 3

Para expor pivôs em colunas, trocamos a segunda linha com a quarta linha e em seguida dividimos essa nova segunda linha por
Não aparece nenhuma equação contraditória, logo o sistema é consistente. As variáveis não têm pivô e, portanto, são livres.

Passo 4

Fazendo retro-substituição:
– Da terceira equação vem
x5 = -1
– Substituindo em x2 + x3 + x5 = 0
x2 = -x3 - x5 = -x3 + 1 = 1 - x3
– Substituindo em x1 + x2 + 2x3 + 2x4 + x5 = 1
x1 = 1 - x2 - 2x3 - 2x4 - x5 = 1 - (1 - x3) - 2x3 - 2x4 + 1 = 1 - x3 - 2x4
Chamando s = x3 e t = x4, obtemos a forma paramétrica da solução.

Resposta

O sistema é consistente e sua solução geral é
(x1,x2,x3,x4,x5) = (1 - s - 2t,;1 - s,;s,;t,;-1),
com s,tinR.

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