Determine qual das siguientes matrizes está na forma linha reduzida à forma escada. Caso a matriz não estiver na sua forma escada, reduza a matriz à forma escada. Determine o posto e nulidade das matrizes. .
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
2 & 2 & 3 & -4 0 & 0 & 7 & -8 0 & 0 & 0 & -1
e pede para verificar se ela está em forma reduzida por linhas (RREF). Caso não esteja, devemos usar eliminação de Gauss–Jordan para encontrá-la. Depois, calculamos o posto (número de pivôs) e a nulidade (dimensão do espaço nulo).
Passo 2
Para estar em RREF, cada pivô deve ser igual a 1 e cada coluna de pivô deve ter zeros em todas as outras posições. Na matriz dada, os pivôs atuais são 2, 7 e -1, logo não está em RREF. No entanto, ela já está em forma escalonada (cada pivô deslocado para a direita e linhas de zeros abaixo), então vamos apenas prosseguir para a versão reduzida.
Passo 3
Escalamos cada linha para transformar os pivôs em 1:
R1 tfrac12,R1 ;implies; R1 = (1,,1,,tfrac32,,-2),
R2 tfrac17,R2 ;implies; R2 = (0,,0,,1,,-tfrac87),
R3 -1,R3 ;implies; R3 = (0,,0,,0,,1)
Passo 4
Agora eliminamos todos os termos não nulos acima de cada pivô, começando da última linha:
R1 R1 + 2,R3, R2 R2 + tfrac87,R3
para zerar a coluna 4, e em seguida
R1 R1 - tfrac32,R2
para zerar a coluna 3 acima do segundo pivô.
Passo 5
Após essas operações, obtemos a forma reduzida por linhas:
1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Passo 6
Os pivôs estão em três colunas distintas, portanto o posto é 3. Como a matriz tem 4 colunas, a nulidade é 4 - 3 = 1.