Determine sob que condições o conjunto (1, alpha),(alpha, 1), com alpha real, é base do R^2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as condições sobre o parâmetro alpha para que o conjunto (1,alpha),(alpha,1) seja uma base de R^2. O conteúdo principal é independência linear em R^2, que podemos checar via determinante.

Passo 2

Para verificar independência linear, montamos a matriz cujas colunas são os vetores e calculamos seu determinante:
det1 & alpha alpha & 1

Passo 3

Calculamos o determinante:
det = 1 cdot 1 - alpha cdot alpha = 1 - alpha^2
Para que os vetores formem base, precisamos de determinante diferente de zero. Então:
$$
1 - \alpha^2 \neq 0
1 - alpha^2 neq 0 \alpha^2 \neq 1$$
Ou seja,
alpha^2 neq 1

Resposta

alpha neq 1 e alpha neq -1.

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