Determine para quais valores do parâmetros (letras gregas) as transformações abaixo são lineares:
, tal que

Passo 1

Temos a aplicação linear F: R^3toR^2 dada por (x,y,z)mapsto(alpha x,,alpha y+z+beta). O conteúdo é transformações lineares: para que F seja linear, precisamos que se verifique aditividade e homogeneidade, o que implica em particular F(0)=0.

Passo 2

Calculamos F(0,0,0)=l(alphacdot0,,alphacdot0+0+betar)=(0,,beta). Para ter F(0)=0 é necessário e suficiente que beta=0.
Supondo beta=0, escrevemos F(x,y,z)=(alpha x,,alpha y+z). Então, para quaisquer (xi,yi,zi) e escalar c, temos additividade:
F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))=F(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)=(alpha(x1+x2),,alpha(y1+y2)+(z1+z2))= (alpha x1,,alpha y1+z1)+(alpha x2,,alpha y2+z2)=F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2),

Passo 3

e homogeneidade:
F(c,(x,y,z))=(alpha(cx),,alpha(cy)+c z)=(calpha x,,c(alpha y+z))=c,(alpha x,,alpha y+z)=c,F(x,y,z)

Passo 4

Portanto, para beta=0 e qualquer alphainR, F satisfaz as condições de linearidade.

Resposta

beta=0 e alpha pode ser qualquer número real.

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