Exercício 11 Verifique se os conjuntos abaixo são ou não subespaços de R^2.
(x, y) in R^2 ; x+y=0.
(x, y) in R^2 ; x y=0.
(x, y) in R^2 ; x=3 y+2.
(x, y) in R^2 ; x=y

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos quatro subconjuntos de R^2 e queremos saber quais são subespaços. O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais: para um subconjunto W de um espaço vetorial V ser subespaço, é preciso verificar três condições: (i) 0in W, (ii) fechamento em soma, (iii) fechamento em multiplicação escalar.

Passo 2

Critério geral de subespaço: Um conjunto Wsubseteq V é subespaço de V se e somente se satisfaz:
  • 0in W.
  • Para quaisquer u,vin W, temos u+vin W.
  • Para qualquer uin W e escalar alphainR, temos alpha uin W.

Passo 3

Aplicação ao conjunto W1=(x,y)inR^2;;x+y=0:
Verificamos a presença do vetor zero: (0,0) satisfaz 0+0=0, logo 0in W1. Para soma, tomemos (x1,y1),(x2,y2)in W1, ou seja, x1+y1=0 e x2+y2=0. Então
(x1+x2)+(y1+y2)=(x1+y1)+(x2+y2)=0+0=0,
logo (x1+x2,y1+y2)in W1. Para multiplicação escalar,
alpha x+alpha y=alpha(x+y)=alphacdot 0=0,
portanto alpha(x,y)in W1. Concluímos que W1 é subespaço.

Passo 4

Aplicação ao conjunto W2=(x,y)inR^2;;xy=0:
O vetor zero (0,0) satisfaz 0cdot0=0, então 0in W2. Contudo, pegue (1,0)in W2 e (0,1)in W2. A soma é (1,1) e
1cdot1=1neq0,
então (1,1)notin W2. Falta fechamento em soma, logo W2 não é subespaço.

Passo 5

Aplicação ao conjunto W3=(x,y)inR^2;;x=3y+2:
Verificamos (0,0): 0=3cdot0+2 implica 0=2, falso. Como o vetor zero não pertence, já concluímos que W3 não é subespaço.

Passo 6

Aplicação ao conjunto W4=(x,y)inR^2;;x=y:
Temos (0,0) porque 0=0. Para (x1,x1),(x2,x2)in W4,
(x1+x2)=(x1+x2)
mostra que a soma está em W4. Para escalar alpha,
alpha x=alpha y
também satisfaz x=y. Logo W4 é subespaço.

Resposta

Os conjuntos definidos por x+y=0 e x=y são subespaços de R^2. Os conjuntos definidos por xy=0 e x=3y+2 não são subespaços.

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