Exercício 11 Verifique se os conjuntos abaixo são ou não subespaços de
.
.
.
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos quatro subconjuntos de
e queremos saber quais são subespaços. O conteúdo aqui é teoria de subespaços vetoriais: para um subconjunto
de um espaço vetorial
ser subespaço, é preciso verificar três condições: (i)
, (ii) fechamento em soma, (iii) fechamento em multiplicação escalar.
Passo 2
Critério geral de subespaço: Um conjunto
é subespaço de
se e somente se satisfaz:
-
. - Para quaisquer
, temos . - Para qualquer
e escalar , temos .
Passo 3
Aplicação ao conjunto
:
Verificamos a presença do vetor zero: satisfaz
, logo
. Para soma, tomemos
, ou seja,
e
. Então
Verificamos a presença do vetor zero:
logo
. Para multiplicação escalar,
portanto
. Concluímos que
é subespaço.
Passo 4
Aplicação ao conjunto
:
O vetor zero satisfaz
, então
. Contudo, pegue
e
. A soma é
e
O vetor zero
então
. Falta fechamento em soma, logo
não é subespaço.
Passo 5
Aplicação ao conjunto
:
Verificamos :
implica
, falso. Como o vetor zero não pertence, já concluímos que
não é subespaço.
Verificamos
Passo 6
Aplicação ao conjunto
:
Temos porque
. Para
,
Temos
mostra que a soma está em
. Para escalar
,
também satisfaz
. Logo
é subespaço.
Resposta
Os conjuntos definidos por
e
são subespaços de
. Os conjuntos definidos por
e
não são subespaços.