Determine a solução de .
Passo 1
Então, temos um problema que envolve resolver uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. O enunciado é:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial e colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
No nosso caso, $ P(t) = \dfrac{2}{t} $ e $ Q(t) = t^{3} $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Substituindo $ P(t) = \dfrac{2}{t} $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante $ t^{2} $:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto $ t^{2} y $. Ou seja:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
Integrando:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Para encontrar $ y(t) $, dividimos ambos os lados por $ t^{2} $:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: