Determine a solução de .

Passo 1

Então, temos um problema que envolve resolver uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. O enunciado é:
y' + dfrac2t y = t^3 y(1) = 2
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial e colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
y' + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, $ P(t) = \dfrac{2}{t} $ e $ Q(t) = t^{3} $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) = \dfrac{2}{t} $:
mu(t) = e^integral P(t) dt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante $ t^{2} $:
t^2
Simplificando:
t^2 y' + t^2 cdot dfrac2t y = t^2 cdot t^3

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto $ t^{2} y $. Ou seja:
t^2 y

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
t
Integrando:
integral ddt (t^2 y) dt = integral t^5 dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Para encontrar $ y(t) $, dividimos ambos os lados por $ t^{2} $:
y(t)

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(1) = 2
C

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(t) = t^46 + 116 t^2

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