Determine a solução geral de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve derivadas e funções lineares. Pra resolver isso, a gente vai precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação num formato mais fácil de trabalhar. Dividimos todos os termos por 3 para simplificar:
Agora, temos uma equação na forma padrão
, onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original numa forma que é mais fácil de integrar.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo é simples, fica apenas
. Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.
Passo 6
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Multiplicando pela constante
:
Passo 7
Voltando à nossa equação, temos:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante real arbitrária.