Determine a solução geral de 3 y^prime-6 y=8 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial 3 y' - 6 y = 8 t. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve derivadas e funções lineares. Pra resolver isso, a gente vai precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação num formato mais fácil de trabalhar. Dividimos todos os termos por 3 para simplificar:
y' - 2 y = 83 t
Agora, temos uma equação na forma padrão y' + P(t) y = Q(t), onde P(t) = -2 e Q(t) = 83 t.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -2 dt = e^-2 t
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação original numa forma que é mais fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^-2 t y' - 2 e^-2 t y = 83 t e^-2 t
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto e^-2 t y. Ou seja:
ddt (e^-2 t y) = 83 t e^-2 t

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t:
integral ddt (e^-2 t y) dt = integral 83 t e^-2 t dt
A integração do lado esquerdo é simples, fica apenas e^-2 t y. Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.

Passo 6

Para resolver integral 83 t e^-2 t dt, usamos a técnica de integração por partes, onde:
u = t Rightarrow du = dt
dv = e^-2 t dt Rightarrow v = -12 e^-2 t
Aplicando a integração por partes:
integral t e^-2 t dt = -12 t e^-2 t + 12 integral e^-2 t dt = -12 t e^-2 t - 14 e^-2 t + C
Multiplicando pela constante 83:
83 ( -12 t e^-2 t - 14 e^-2 t ) + C = -43 t e^-2 t - 23 e^-2 t + C

Passo 7

Voltando à nossa equação, temos:
e^-2 t y = -43 t e^-2 t - 23 e^-2 t + C
Para isolar y, multiplicamos ambos os lados por e^2 t:
y = -43 t - 23 + C e^2 t

Resposta

A solução geral da equação é:
y(t) = C e^2 t - 43 t - 23
Onde C é uma constante real arbitrária.

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