Resolva .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo $ t y’ + y = 4t $, com a condição inicial $ y(3) = 6 $. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão. Queremos isolar $ y’ $, então dividimos todos os termos por $ t $:
Agora, está no formato $ y’ + P(t) y = Q(t) $, onde $ P(t) = \frac{1}{t} $ e $ Q(t) = 4 $.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Então, o fator integrante é $ t $.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante $ t $:
Perceba que a equação original já foi multiplicada por $ t $, então fica assim mesmo.
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(t) y $:
Isso facilita a integração, pois a derivada do produto é igual a $ 4t $.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a $ t $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos para $ y $:
Passo 8
Usamos a condição inicial $ y(3) = 6 $ para encontrar $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: