Resolva .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo $ t y’ + y = 4t $, com a condição inicial $ y(3) = 6 $. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma padrão. Queremos isolar $ y’ $, então dividimos todos os termos por $ t $:
y'
Agora, está no formato $ y’ + P(t) y = Q(t) $, onde $ P(t) = \frac{1}{t} $ e $ Q(t) = 4 $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
mu(t)
Então, o fator integrante é $ t $.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante $ t $:
t
Perceba que a equação original já foi multiplicada por $ t $, então fica assim mesmo.

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(t) y $:
mu(t) y
Isso facilita a integração, pois a derivada do produto é igual a $ 4t $.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
integral ddt(t y) dt = integral 4t dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para $ y $:
y

Passo 8

Usamos a condição inicial $ y(3) = 6 $ para encontrar $ C $:
y(3) = 6
C
6 = 2(3) + C3

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = 2t

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