Determine a solução dos P.V.I.'s:
(1+t^2) doty+4 t y=t, y(1)=14.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
(1+t^2)dot y + 4t,y = t, y(1)=tfrac14,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão, dividindo por 1+t^2:
y' + 4t1+t^2,y = t1+t^2
O fator integrante é
mu(t) = exp!l(integral 4t1+t^2,dtr) = exp!l(2ln(1+t^2)r) = (1+t^2)^2

Passo 3

Multiplicando a equação por mu(t) obtemos
(1+t^2)^2,y' + 4t(1+t^2),y = t(1+t^2),
cujo lado esquerdo é ddtl((1+t^2)^2,yr). Integramos:
(1+t^2)^2,y = integral t(1+t^2),dt + C = t^22 + t^44 + C

Passo 4

Impondo y(1)=tfrac14, temos
(1+1^2)^2cdot tfrac14 = 1^22 + 1^44 + C Longrightarrow 1 = tfrac12 + tfrac14 + C Longrightarrow C = tfrac14

Passo 5

Substituindo C na solução geral:
(1+t^2)^2,y = t^22 + t^44 + 14 = t^4 + 2t^2 +14 = (1+t^2)^24,
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y(t) = (1+t^2)^24,(1+t^2)^2 = 14

Resposta

y(t) = tfrac14

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