Expresse a área e o perímetro de um triângulo equilátero em função do comprimento x do lado do triângulo.

Passo 1

O enunciado pede para expressar em função do comprimento do lado x de um triângulo equilátero duas quantidades clássicas de geometria: o perímetro e a área. Para isso usaremos a definição de perímetro como soma dos lados e a fórmula da área de um triângulo tfracbasetimesa<ura2, além de calcular a altura desse triângulo equilátero.

Passo 2

Em um triângulo equilátero todos os três lados têm o mesmo comprimento x. Logo, o perímetro P é simplesmente a soma desses três lados:
P = x + x + x = 3x

Passo 3

Para achar a área, primeiro determinamos a altura h. Dividindo o triângulo em dois triângulos retângulos de base tfracx2 e hipotenusa x, aplicamos o teorema de Pitágoras:
h = raizx^2 - l(tfracx2r)^2 = raizx^2 - tfracx^24 = raiztfrac3x^24 = tfracraiz32,x

Passo 4

Agora usamos a fórmula da área de um triângulo com base x e altura h:
A = basetimesa<ura2 = x ,cdot, l(tfracraiz32xr)2 = raiz34,x^2

Resposta

P = 3x
A = raiz34,x^2

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