Encontre o limite. Use a regra do L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra do L’Hôspital não for aplicável, explique por quê.
lim x 0^+ x^x^2;

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+ x^x^2,
que tem a forma de indeterminação 0^0. Vamos usar a técnica de reescrever a potência como exponencial e, se for preciso, aplicar a regra de L’H^opital ao expoente.

Passo 2

Observamos que
x^x^2 = expl(x^2ln xr)
Assim, para achar o limite de x^x^2, basta determinar
limxto0^+x^2ln x.

Passo 3

O termo x^2ln x é da forma 0cdot(-infty). Para aplicar L’H^opital, reescrevemos em forma de quociente:
x^2ln x ;=;ln x1/x^2,
once o numerador tende a -infty e o denominador a +infty quando xto0^+.

Passo 4

Aplicando a regra de L’H^opital ao quociente ln x/(1/x^2):
limxto0^+ln x1/x^2 =limxto0^+ddx(ln x)ddx(1/x^2) =limxto0^+1/x-2x^-3 =limxto0^+l(-x^22r) =0
Logo,
limxto0^+x^2ln x=0

Passo 5

Como x^x^2=exp(x^2ln x) e o expoente tende a 0, temos
limxto0^+x^x^2 =expl(limxto0^+x^2ln xr) =exp(0) =1

Resposta

1

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