Determine uma solução aproximada para a seguinte equação, depois de linearizar em torno de x = 2.
4-x^3+x-8=0

Passo 1

Nesse exercício, queremos encontrar uma solução aproximada da equação
4 - x^{3} + x - 8 = 0
usando linearização em torno de x_{0} = 2. O conteúdo aqui é linearização de funções, isto é, aproximar f(x) por sua reta tangente em um ponto próximo ao zero que buscamos.

Passo 2

Primeiro, definimos a função f(x) de modo que a solução da equação seja o zero de f. Assim, temos
f(x)=4 - x^3 + x - 8 = -x^3 + x - 4

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada f’(x), que é necessária para obter a reta tangente (linearização):
f'(x)=ddxl(-x^3 + x - 4r)=-3x^2+1

Passo 4

Agora avaliamos f e f’ no ponto x_{0}=2. Temos
f(2)=-2^3+2-4=-8+2-4=-10,
e
f'(2)=-3cdot2^2+1=-12+1=-11

Passo 5

A linearização de f em torno de x_{0} é dada por
f(x)approx f(x0)+f'(x0)(x-x0)
Para achar a raiz aproximada, fazemos f(x)≈0 e resolvemos para x:
0approx f(2)+f'(2)(x-2)
Isolando x, obtemos
x-2approx -f(2)f'(2)

Passo 6

Substituindo os valores, vem
x-2approx --10-11=-1011
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xapprox 2-1011approx 2-0,9091approx1,0909

Resposta

A solução aproximada pela linearização em torno de x=2 é x ≈ 1,0909.

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