Determine uma solução aproximada para a seguinte equação, depois de linearizar em torno de
.
Passo 1
Nesse exercício, queremos encontrar uma solução aproximada da equação
4 - x^{3} + x - 8 = 0
usando linearização em torno de x_{0} = 2. O conteúdo aqui é linearização de funções, isto é, aproximar f(x) por sua reta tangente em um ponto próximo ao zero que buscamos.
4 - x^{3} + x - 8 = 0
usando linearização em torno de x_{0} = 2. O conteúdo aqui é linearização de funções, isto é, aproximar f(x) por sua reta tangente em um ponto próximo ao zero que buscamos.
Passo 2
Primeiro, definimos a função f(x) de modo que a solução da equação seja o zero de f. Assim, temos
Passo 3
Em seguida, calculamos a derivada f’(x), que é necessária para obter a reta tangente (linearização):
Passo 4
Agora avaliamos f e f’ no ponto x_{0}=2. Temos
e
Passo 5
A linearização de f em torno de x_{0} é dada por
Para achar a raiz aproximada, fazemos f(x)≈0 e resolvemos para x:
Isolando x, obtemos
Passo 6
Substituindo os valores, vem
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Resposta
A solução aproximada pela linearização em torno de x=2 é x ≈ 1,0909.