Exprimir em coordenadas cilindricas as grandezas:
nabla cdot A;

Passo 1

O enunciado pede para escrever o operador divergente de um campo vetorial vec A em coordenadas cilíndricas. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente divergência em coordenadas curvilíneas, e vamos precisar usar os fatores de escala (ou métricos) do sistema cilíndrico.

Passo 2

No sistema de coordenadas cilíndricas usamos as variáveis r,theta,z e o vetor vec A tem componentes Ar, Atheta e Az. Os fatores de escala são
hr = 1, htheta = r, hz = 1

Passo 3

A fórmula geral da divergência em coordenadas curvilíneas (q1,q2,q3) com fatores de escala (h1,h2,h3) é
nablacdotvec A = 1h1,h2,h3l[partial(h2,h3,A1)partial q1+partial(h3,h1,A2)partial q2+partial(h1,h2,A3)partial q3r]

Passo 4

Substituindo q1=r, q2=theta, q3=z e hr=1,htheta=r,hz=1 na fórmula geral, obtemos
nablacdotvec A = 11cdot rcdot1l[partial(r,Ar)partial r+partial(1,Atheta)partialtheta+partial(r,Az)partial zr] = 1rl[partial(r,Ar)partial r+partial Athetapartialtheta+partial(r,Az)partial zr]

Passo 5

Como r é constante em relação a z, partial(rAz)/partial z=r,partial Az/partial z. Logo o termo final fica simplesmente partial Az/partial z. Assim simplificamos para a forma clássica.
A expressão final da divergência em coordenadas cilíndricas fica pronta.

Resposta

[\nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{r}\frac{\partial (r A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial A_z}{\partial z}]

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