Determine uma solução aproximada para a seguinte equação, depois de linearizar em torno de x = 1.
3-x^2 cdot ln (x)+x-3=0

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução aproximada da equação
3 − x²·ln(x) + x − 3 = 0
por meio de uma linearização em torno de x = 1. O conteúdo principal é usar a expansão de Taylor de 1ª ordem para ln(x) em torno de x₀ = 1.

Passo 2

Começamos simplificando a equação. Note que os termos +3 e −3 se cancelam, sobrando
f(x)=x−x^2ln(x)=0
Assim queremos solucionar aproximadamente f(x)=0.

Passo 3

Para linearizar, usamos a expansão de Taylor de 1ª ordem de ln(x) em torno de x₀=1. A teoria diz que:
ln(x)approxln(1)+11(x−1)=x−1
já que ln(1)=0 e 1/1=1.

Passo 4

Substituímos essa aproximação em f(x):
f(x)approx x−x^2(x−1)=0
Disso vem
−x^3+x^2+x=0

Passo 5

Agora resolvemos −x³+x²+x=0. Fatorando:
x(−x^2+x+1)=0
As raízes são x=0 ou as soluções de x²−x−1=0, que dão
x=1pmraiz1+42=1pmraiz52

Passo 6

Como ln(x) só faz sentido para x>0 e queremos a raiz perto de 1, escolhemos
x=1+raiz52approx1,618
que é a solução aproximada obtida pela linearização.

Resposta

x\approx\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618

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