Determine uma solução aproximada para a seguinte equação, depois de linearizar em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma solução aproximada da equação
3 − x²·ln(x) + x − 3 = 0
por meio de uma linearização em torno de x = 1. O conteúdo principal é usar a expansão de Taylor de 1ª ordem para ln(x) em torno de x₀ = 1.
3 − x²·ln(x) + x − 3 = 0
por meio de uma linearização em torno de x = 1. O conteúdo principal é usar a expansão de Taylor de 1ª ordem para ln(x) em torno de x₀ = 1.
Passo 2
Começamos simplificando a equação. Note que os termos +3 e −3 se cancelam, sobrando
Assim queremos solucionar aproximadamente f(x)=0.
Passo 3
Para linearizar, usamos a expansão de Taylor de 1ª ordem de ln(x) em torno de x₀=1. A teoria diz que:
já que ln(1)=0 e 1/1=1.
Passo 4
Substituímos essa aproximação em f(x):
Disso vem
Passo 5
Agora resolvemos −x³+x²+x=0. Fatorando:
As raízes são x=0 ou as soluções de x²−x−1=0, que dão
Passo 6
Como ln(x) só faz sentido para x>0 e queremos a raiz perto de 1, escolhemos
que é a solução aproximada obtida pela linearização.
Resposta
x\approx\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618