Determine uma solução aproximada para a seguinte equação, depois de linearizar em torno de
.
Passo 1
A questão pede para achar uma solução aproximada para a equação após fazer a linearização em torno de x=1, ou seja, usar a reta tangente a f em x=1 para estimar onde f(x)=0.
Passo 2
Definimos a função f(x) correspondendo ao lado esquerdo da equação: f(x)=2−x³+x²+5x−8. Para linearizar, precisamos também de f
'(x).
'(x).
Passo 3
Calculamos f
'(x)=−3x²+2x+5. Avaliando em x=1: f(1)=2−1+1+5−8=−1 e f
'(1)=−3+2+5=4.
'(x)=−3x²+2x+5. Avaliando em x=1: f(1)=2−1+1+5−8=−1 e f
'(1)=−3+2+5=4.
Passo 4
Aproximamos f(x) por sua reta tangente em x=1: f(x)≈f(1)+f
'(1)(x−1). Substituímos os valores: f(x)≈−1+4(x−1).
'(1)(x−1). Substituímos os valores: f(x)≈−1+4(x−1).
Passo 5
Para estimar a raiz, impomos −1+4(x−1)=0 e resolvemos para x, obtendo 4(x−1)=1, logo x−1=1/4 e x=1+1/4=1,25.
Resposta
x≈1,25