Determine a solução de cada EDO:
Passo 1
O enunciado pede encontrar a solução da equação diferencial ordinária dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é a função
. - A derivada é
. - Não há condição inicial fornecida, então buscamos a solução geral (família de curvas).
- A equação é de primeira ordem e pode ser rearranjada em forma diferencial para tentar aplicar métodos padrão.
Passo 2
Reescrevo a equação na forma diferencial
. Multiplicando ambos os lados por
e recolhendo termos:
Para ficar no formato
defino
e
(Atenção: optei por escrever
como o coeficiente do
e
como o coeficiente do
conforme a forma padrão.)
Passo 3
Verifico se a equação é exata. Para isso calculo as derivadas parciais
e
.
Calculo
:
Calculo
:
Observando,
logo os dois são iguais. Portanto a equação diferencial é exata (isto é, existe uma função potencial
tal que
e
).
Passo 4
Procuro a função potencial
com
. Integro
em relação a
, tratando
como constante:
Faço as integrais separadamente.
Para
:
é constante, então
Para
:
é constante, então
Somando e adicionando uma função de integração
(constante em
) obtemos
(Observação: eu poderia também ter integrado
em relação a
; o resultado deve coincidir.)
Passo 5
Agora uso a condição
para determinar
. Primeiro calculo
:
Mas sabemos que
deve ser igual a
, isto é
Comparando com a expressão encontrada para
temos
Daí decorre que
, logo
é constante:
.
Passo 6
Portanto a função potencial completa é
A condição
fornece a solução implícita da EDO. Podemos multiplicar por
e escrever de forma mais agradável:
onde
é constante arbitrária. Essa é a solução geral implícita.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, só para ficar seguro): diferencio implicitamente
.
Derivando em :
Derivando em
Agrupando os termos com
:
que é exatamente a equação original. Portanto a solução está correta.