Determine a solução de cada EDO:
\left(e^{x} \cos (y)+2 \cos (x)\right) y^{\prime}=2 y \operatorname{sen}(x)-e^{x} \operatorname{sen}(y)

Passo 1

O enunciado pede encontrar a solução da equação diferencial ordinária dada por
\left(e^{x}\cos(y)+2\cos(x)\right) y' = 2y\sin(x)-e^{x}\sin(y).
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A derivada é y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Não há condição inicial fornecida, então buscamos a solução geral (família de curvas).
  • A equação é de primeira ordem e pode ser rearranjada em forma diferencial para tentar aplicar métodos padrão.

Passo 2

Reescrevo a equação na forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0. Multiplicando ambos os lados por dx e recolhendo termos:
\left(2y\sin(x)-e^{x}\sin(y)\right)\,dx - \left(e^{x}\cos(y)+2\cos(x)\right)\,dy = 0.
Para ficar no formato M\,dx+N\,dy=0 defino
M(x,y)=2y\sin(x)-e^{x}\sin(y)
e
N(x,y)=-\big(e^{x}\cos(y)+2\cos(x)\big).
(Atenção: optei por escrever M como o coeficiente do dx e N como o coeficiente do dy conforme a forma padrão.)

Passo 3

Verifico se a equação é exata. Para isso calculo as derivadas parciais \dfrac{\partial M}{\partial y} e \dfrac{\partial N}{\partial x}.
Calculo \dfrac{\partial M}{\partial y}:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(2y\sin x - e^{x}\sin y\big) = 2\sin x - e^{x}\cos y.
Calculo \dfrac{\partial N}{\partial x}:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{x}\cos y - 2\cos x\big) = -e^{x}\cos y + 2\sin x.
Observando,
\frac{\partial M}{\partial y} = 2\sin x - e^{x}\cos y \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x} = -e^{x}\cos y + 2\sin x,
logo os dois são iguais. Portanto a equação diferencial é exata (isto é, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N).

Passo 4

Procuro a função potencial \Psi(x,y) com \Psi_x = M. Integro M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int\big(2y\sin x - e^{x}\sin y\big)\,dx.
Faço as integrais separadamente.
Para \int 2y\sin x\,dx: y é constante, então
\int 2y\sin x\,dx = 2y\int \sin x\,dx = 2y(-\cos x) = -2y\cos x.
Para \int -e^{x}\sin y\,dx: \sin y é constante, então
\int -e^{x}\sin y\,dx = -\sin y\int e^{x}\,dx = -\sin y\,e^{x}.
Somando e adicionando uma função de integração h(y) (constante em x) obtemos
\Psi(x,y) = -2y\cos x - e^{x}\sin y + h(y).
(Observação: eu poderia também ter integrado N em relação a y; o resultado deve coincidir.)

Passo 5

Agora uso a condição \Psi_y = N para determinar h(y). Primeiro calculo \Psi_y:
\Psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(-2y\cos x - e^{x}\sin y + h(y)\big) = -2\cos x - e^{x}\cos y + h'(y).
Mas sabemos que \Psi_y deve ser igual a N(x,y), isto é
\Psi_y = N = -\big(e^{x}\cos y + 2\cos x\big) = -e^{x}\cos y - 2\cos x.
Comparando com a expressão encontrada para \Psi_y temos
-2\cos x - e^{x}\cos y + h'(y) = -e^{x}\cos y - 2\cos x.
Daí decorre que h'(y)=0, logo h(y) é constante: h(y)=C.

Passo 6

Portanto a função potencial completa é
\Psi(x,y) = -2y\cos x - e^{x}\sin y + C.
A condição \Psi(x,y)=\text{constante} fornece a solução implícita da EDO. Podemos multiplicar por -1 e escrever de forma mais agradável:
2y\cos x + e^{x}\sin y = C',
onde C'=-C é constante arbitrária. Essa é a solução geral implícita.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, só para ficar seguro): diferencio implicitamente \;2y\cos x + e^{x}\sin y = C'.
Derivando em x:
2y'\cos x -2y\sin x + e^{x}\sin y + e^{x}\cos y\,y' = 0.
Agrupando os termos com y':
\big(2\cos x + e^{x}\cos y\big)y' = 2y\sin x - e^{x}\sin y,
que é exatamente a equação original. Portanto a solução está correta.

Resposta

2y\cos x + e^{x}\sin y = C

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