Resolva cada equação diferencial pela variaçẵo dos parâmetros.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{2} \operatorname{arctg} t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-2y'+y = e^{2}\operatorname{arctg} t.
Informações dadas e o que é pedido:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito (forçante) é \;e^{2}\operatorname{arctg} t.
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(t) (solução geral = solução da homogênea + uma solução particular).
    Não vou resolver nada ainda; só deixei claro o que temos e o que precisamos obter.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução da equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Formamos a equação característica substituindo y=e^{rt}:
r^{2}-2r+1=0.
Calculamos as raízes:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r=1 \text{ (raiz dupla).}
Quando a raiz r=1 tem multiplicidade 2, as duas soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}(t)=e^{t},\qquad y_{2}(t)=t e^{t}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t e^{t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos usar o método da variação dos parâmetros para obter uma solução particular. A ideia é procurar
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t),
onde y_{1},y_{2}\) são as soluções fundamentais acima e \(u_{1},u_{2}\) são funções a determinar. Para simplificar o sistema impomos a condição auxiliar padrão \[u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0.
Com isso, substituindo y_{p} na equação original, obtemos o sistema para u_{1}' e u_{2}':
\begin{cases} u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0,\\[4pt] u_{1}'(t)y_{1}'(t)+u_{2}'(t)y_{2}'(t)=g(t), \end{cases}
onde g(t)\] é o termo do lado direito dividido pelo coeficiente líder (aqui é \(1), isto é
g(t)=e^{2}\operatorname{arctg} t.]

Passo 4

Vamos resolver o sistema acima usando o Wronskiano. O Wronskiano de y_{1},y_{2} é
W(t)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Calculamos:
y_{1}(t)=e^{t},\quad y_{1}'(t)=e^{t},\quad y_{2}(t)=t e^{t},\quad y_{2}'(t)=(1+t)e^{t}.
Logo
W(t)=e^{t}\cdot (1+t)e^{t}-e^{t}\cdot t e^{t}=e^{2t}(1+t-t)=e^{2t}.
As fórmulas padrões da variação dos parâmetros dão
u_{1}'(t)=-\frac{g(t)\,y_{2}(t)}{W(t)},\qquad u_{2}'(t)=\frac{g(t)\,y_{1}(t)}{W(t)}.
Substituindo g,y_{1},y_{2},W:
u_{1}'(t)=-\frac{e^{2}\operatorname{arctg} t \cdot t e^{t}}{e^{2t}} =-t\,e^{2-t}\operatorname{arctg} t,
u_{2}'(t)=\frac{e^{2}\operatorname{arctg} t \cdot e^{t}}{e^{2t}} =e^{2-t}\operatorname{arctg} t.

Passo 5

Agora integramos para obter u_{1},u_{2}. Tomando antiderivadas (escolhendo constantes de integração convenientemente — essas constantes só mudariam a solução particular por uma combinação da homogênea, logo podemos escolher as constantes para zero neste procedimento):
u_{2}(t)=\int u_{2}'(t)\,dt = e^{2}\int e^{-t}\operatorname{arctg} t \,dt,
u_{1}(t)=\int u_{1}'(t)\,dt = -e^{2}\int t\,e^{-t}\operatorname{arctg} t \,dt.
Essas integrais não são imediatamente elementares, mas podemos manipulá-las por partes para simplificar a combinação que aparece em y_{p}.

Passo 6

Integramos por partes a integral de u_{2}. Seja
I(t)=\int e^{-t}\operatorname{arctg} t \,dt.
Fazendo u=\operatorname{arctg} t (então du=\dfrac{1}{1+t^{2}}dt) e dv=e^{-t}dt (então v=-e^{-t}), obtemos
I(t)=-e^{-t}\operatorname{arctg} t + \int \frac{e^{-t}}{1+t^{2}}\,dt.
Portanto
u_{2}(t)=e^{2}I(t)= -e^{2-t}\operatorname{arctg} t + e^{2}\int \frac{e^{-t}}{1+t^{2}}\,dt.

Passo 7

Agora para u_{1} calcule
K(t)=\int t\,e^{-t}\operatorname{arctg} t \,dt.
Fazemos por partes com u=\operatorname{arctg} t ( du=\dfrac{1}{1+t^{2}}dt) e dv=t e^{-t}dt. Calculamos primeiro v=\int t e^{-t}dt. Fazendo integração por partes rápida:
\int t e^{-t}dt = - (t+1)e^{-t} + \text{const}.
Usando isso em K,
K(t)= - (t+1)e^{-t}\operatorname{arctg} t + \int \frac{(t+1)e^{-t}}{1+t^{2}}\,dt.
Multiplicando por -e^{2} (pois u_{1}= -e^{2}K) obtemos
u_{1}(t)= e^{2-t}(t+1)\operatorname{arctg} t - e^{2}\int \frac{(t+1)e^{-t}}{1+t^{2}}\,dt.

Passo 8

Agora montamos y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo y_{1}=e^{t},y_{2}=t e^{t} e as expressões de u_{1},u_{2}:
\begin{aligned} y_{p}(t) &= \bigg[e^{2-t}(t+1)\operatorname{arctg} t - e^{2}\int \frac{(t+1)e^{-t}}{1+t^{2}}\,dt\bigg]e^{t}\\[4pt] &\quad + \bigg[-e^{2-t}\operatorname{arctg} t + e^{2}\int \frac{e^{-t}}{1+t^{2}}\,dt\bigg]t e^{t}. \end{aligned}
Simplificando os termos que envolvem \operatorname{arctg} t:
e^{2-t}(t+1)\operatorname{arctg} t\cdot e^{t} - e^{2-t}\operatorname{arctg} t\cdot t e^{t} = e^{2}\operatorname{arctg} t.
Os termos com integrais se combinam (lembrando que a diferença de antiderivadas pode ser reunida numa única integral, e as constantes de integração que eventualmente apareçam podem ser absorvidas por y_{h}). Fazendo essa combinação obtemos
y_{p}(t)= e^{2}\operatorname{arctg} t - e^{2}e^{t}\int \frac{e^{-t}}{1+t^{2}}\,dt.
É conveniente escrever a integral com variável dummy s e limite inferior fixo t_{0} (qualquer escolha de t_{0} dá a mesma solução geral, pois constantes resultantes podem ser absorvidas em C_{1},C_{2}). Assim podemos tomar
y_{p}(t)= e^{2}\operatorname{arctg} t - e^{2}e^{t}\int_{t_{0}}^{t}\frac{e^{-s}}{1+s^{2}}\,ds.]

Passo 9

Finalmente a solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t e^{t}+e^{2}\operatorname{arctg} t - e^{2}e^{t}\int_{t_{0}}^{t}\frac{e^{-s}}{1+s^{2}}\,ds,
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias e t_{0} é um ponto de referência (pode escolher t_{0}=0 se quiser uma forma concreta da integral). Observação: a integral \displaystyle\int \frac{e^{-s}}{1+s^{2}}\,ds não possui primitiva elementar em termos de funções elementares; portanto é normal deixá-la na forma integral numa solução por variação dos parâmetros.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t e^{t}+e^{2}\operatorname{arctg} t - e^{2}e^{t}\int_{t_{0}}^{t}\frac{e^{-s}}{1+s^{2}}\,ds.

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