Determine a solução de cada problema de valor inicial (ou equação):
(b) ;
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO com condição inicial . Este é um caso clássico de equação diferencial separável; vamos usar separação de variáveis e integração por frações parciais.
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
Passo 3
Para integrar fazemos frações parciais:
Passo 4
Integrando os dois lados:
Passo 5
Portanto temos
14lnl|y-2y+2r|=x+C
Passo 6
Exponenciando e reorganizando, definimos K=e^4C e obtemos
y-2y+2=Ke^4x, y=2l(1+Ke^4xr)1-Ke^4x
Passo 7
Use a condição inicial y(0)=0:
0-20+2=K,e^0implies K=-1
Passo 8
Substituindo K=-1 na expressão geral e simplificando, chega-se a