Determine a solução de cada problema de valor inicial (ou equação):
(b) y^prime=y^2-4, y(0)=0;

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO y'=y^2-4 com condição inicial y(0)=0. Este é um caso clássico de equação diferencial separável; vamos usar separação de variáveis e integração por frações parciais.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dyy^2-4=dx

Passo 3

Para integrar integral dy/(y^2-4) fazemos frações parciais:
1y^2-4=14l(1y-2-1y+2r)

Passo 4

Integrando os dois lados:
integraldyy^2-4=14integrall(1y-2-1y+2r)dy=14lnl|y-2y+2r|+C

Passo 5

Portanto temos
14lnl|y-2y+2r|=x+C

Passo 6

Exponenciando e reorganizando, definimos K=e^4C e obtemos
y-2y+2=Ke^4x, y=2l(1+Ke^4xr)1-Ke^4x

Passo 7

Use a condição inicial y(0)=0:
0-20+2=K,e^0implies K=-1

Passo 8

Substituindo K=-1 na expressão geral e simplificando, chega-se a
y(x)=2l(1-e^4xr)1+e^4x

Resposta

y(x)=2l(1-e^4xr)1+e^4x

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