Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você enviou:
Matéria envolvida: Equações Diferenciais Exatas e Fatores Integrantes.
O que vamos precisar: Identificar se a equação é exata, e se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Depois, integrar para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma $ M , dx + N , dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $.
Aqui, temos:
- $ M = x - 4y - 3 $
- $ N = - (x - 6y - 5) = -x + 6y + 5 $
Calculando as derivadas parciais:
- $ \frac{\partial M}{\partial y} = -4 $
- $ \frac{\partial N}{\partial x} = -1 $
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende somente de $ x $ ou de $ y $.
Uma forma comum de encontrar o fator integrante $ \mu $ é usar a fórmula:
Substituindo os valores que já calculamos:
No entanto, esse resultado ainda depende de $ x $ e $ y $, o que complica a integração. Isso sugere que o fator integrante não depende apenas de $ y $.
Vamos tentar outra abordagem. Suponha que o fator integrante $ \mu $ seja uma função de $ x $ e $ y $ de forma que a equação se torne exata. Neste caso, a determinação de $ \mu $ pode ser complexa, e pode ser mais prático buscar uma solução alternativa ou assumir que a solução será implícita.
Passo 4
Mesmo sem um fator integrante óbvio, podemos tentar integrar diretamente. Reescrevendo a equação:
Vamos reescrever isso como:
Dividindo ambos os lados por $ dx $:
Rearranjando para isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Essa é uma equação diferencial que podemos tentar resolver por métodos de substituição, como substituição $ v = x - 6y - 5 $, mas isso pode ficar complicado. Para simplificar, vamos assumir que a solução será implícita.
Passo 5
Considerando a dificuldade de encontrar um fator integrante simples, podemos optar por integrar a equação original considerando $ y $ como função de $ x $.
Integrando $ M $ em relação a $ x $:
Agora, diferenciamos essa expressão em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
Derivando:
Resolvendo para $ h’(y) $:
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
Portanto, a solução implícita da equação diferencial é:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C $ é uma constante arbitrária.