Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(b) x y^prime+y=2 x, x>0, y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO x y' + y = 2x com condição inicial y(1)=2. O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para aplicar o fator integrante, colocamos a equação na forma padrão dividindo por x, obtendo y' + 1xy = 2. O fator integrante é mu(x)=expl(integraltfrac1x,dxr)=x.

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x, o lado esquerdo se torna ddx(x y) e o lado direito fica 2x. Integrando ambos os lados em relação a x temos
integral ddx(x y),dx = integral 2x,dx
o que leva a
x y = x^2 + C

Passo 4

Isolando y obtemos y = x + tfracCx. Aplicando a condição y(1)=2 2 = 1 + C, logo C = 1.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é y(x)=x+tfrac1x.

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