Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
(2 x y^3+8 x) d x+(3 x^2 y^2+5) d y=0 ; y(2)=-1

Passo 1

Então, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou: (2 x y^3+8 x) dx+(3 x^2 y^2+5) dy=0 com a condição inicial y(2)=-1. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais exatas para encontrar a solução. Vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x. Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y (2x y^3 + 8x) = 6x y^2
partial Npartial x = partialpartial x (3x^2 y^2 + 5) = 6x y^2
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial Phi(x,y) tal que:
partial Phipartial x = M = 2x y^3 + 8x
Vamos integrar M em relação a x para encontrar Phi(x,y):
Phi(x,y) = integral (2x y^3 + 8x) dx = x^2 y^3 + 4x^2 + h(y)
Agora, derivamos Phi em relação a y e igualamos a N para encontrar h(y):
partial Phipartial y = 3x^2 y^2 + h'(y) = 3x^2 y^2 + 5
Comparando, temos:
h'(y) = 5 implies h(y) = 5y + C
Portanto, a função potencial completa é:
Phi(x,y) = x^2 y^3 + 4x^2 + 5y = C

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial y(2) = -1 para encontrar a constante C:
(2)^2 (-1)^3 + 4(2)^2 + 5(-1) = 4(-1) + 16 -5 = -4 + 16 -5 = 7
Então, a solução particular é:
x^2 y^3 + 4x^2 + 5y = 7

Resposta

A solução particular da equação diferencial é x^2 y^3 + 4x^2 + 5y = 7.

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