Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Então, vamos resolver essa equação diferencial que você me mandou:
com a condição inicial
. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais exatas para encontrar a solução. Vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função potencial que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Comparando, temos:
Portanto, a função potencial completa é:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é
.