Determine a solução de cada problema de valor inicial (ou equação):
(a) y^prime=-xy, y(4)=3;

Passo 1

O enunciado dá uma EDO de primeira ordem: y'= -xy com condição inicial y(4)=3. O conteúdo é equação diferencial separável, e vamos precisar usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Separe as variáveis: multiplique ambos os lados por y e por dx para obter y,dy = -x,dx. Agora integre os dois lados:
integral y,dy = integral -x,dx
Isso dá
y^22 = -x^22 + C

Passo 3

Multiplique por 2 para simplificar e chame a constante de K:
y^2 = -x^2 + K
Use a condição inicial y(4)=3 para determinar K:
3^2 = -4^2 + K Rightarrow 9 = -16 + K Rightarrow K = 25
Então a solução implícita fica
y^2 = 25 - x^2

Passo 4

Passe para a forma explícita:
y = pmraiz25 - x^2
Como y(4)=3>0, escolhemos o sinal positivo. A solução do PVI é
y(x) = raiz25 - x^2

Resposta

y(x)=raiz25 - x^2

Exercícios relacionados