Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial para resolver. O enunciado é:
Essa equação envolve derivadas e está no contexto de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos identificar o tipo da equação e aplicar os métodos apropriados passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
não é igual a
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Observando a equação, vemos que ela pode ser reescrita na forma de uma equação linear.
Vamos rearranjar a equação para isolarmos
:
Dividindo todos os termos por
:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação linear:
onde:
Passo 4
Para resolver essa equação linear, precisamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular:
Simplificando:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação linear pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
em relação a
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. A integral de
é simplesmente
:
Passo 7
Agora, isolamos
para encontrar a solução geral:
Simplificando, podemos escrever a solução como:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.