Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
y^2 d x+(y^2 x+2 x y-1) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial para resolver. O enunciado é:
y^2 dx + (y^2 x + 2 x y -1) dy = 0
Essa equação envolve derivadas e está no contexto de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos identificar o tipo da equação e aplicar os métodos apropriados passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x.
Aqui, temos:
  • M(x, y) = y^2
  • N(x, y) = y^2 x + 2 x y -1
Vamos calcular as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = 2y
  • partial Npartial x = y^2 + 2y
Como partial Mpartial y = 2y não é igual a partial Npartial x = y^2 + 2y, a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Observando a equação, vemos que ela pode ser reescrita na forma de uma equação linear.
Vamos rearranjar a equação para isolarmos dxdy:
y^2 dxdy + y^2 x + 2 x y -1 = 0
Dividindo todos os termos por y^2:
dxdy + x + 2xy = 1y^2
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação linear:
dxdy + P(y) x = Q(y)
onde:
  • P(y) = 1 + 2y
  • Q(y) = 1y^2

Passo 4

Para resolver essa equação linear, precisamos calcular o fator integrante mu(y), que é dado por:
mu(y) = e^integral P(y) dy
Vamos calcular:
mu(y) = e^integral (1 + 2y) dy = e^y + 2 ln y
Simplificando:
mu(y) = e^y cdot y^2

Passo 5

Multiplicamos toda a equação linear pelo fator integrante mu(y):
y^2 e^y cdot dxdy + y^2 e^y cdot x + 2 y e^y cdot x = e^y
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(y) x em relação a y:
ddy (y^2 e^y x) = e^y

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a y:
y^2 e^y x = integral e^y dy + C
Onde C é a constante de integração. A integral de e^y é simplesmente e^y:
y^2 e^y x = e^y + C

Passo 7

Agora, isolamos x para encontrar a solução geral:
x = e^y + Cy^2 e^y = 1y^2 + Cy^2 e^y
Simplificando, podemos escrever a solução como:
x = 1y^2 + C cdot e^-yy^2

Resposta

A solução geral da equação é:
x = 1y^2 + C, e^-yy^2
Onde C é uma constante arbitrária.

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