Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
(4 yx+x raizy) d x=d y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos a equação diferencial (4 yx + x raizy) dx = dy. O assunto aqui é equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos identificar seu tipo e aplicar métodos apropriados, como substituições ou técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Dividindo os dois lados por dx, temos:
dydx = 4 yx + x raizy
Isso nos dá uma equação diferencial expressa em termos de dydx.

Passo 3

Agora, observamos os termos que envolvem y e raizy. Isso sugere que uma substituição pode simplificar a equação. Vamos tentar a substituição z = raizy. Assim, teremos:
y = z^2

Passo 4

Com essa substituição, precisamos expressar dydx em termos de z. Derivando y = z^2 em relação a x, obtemos:
dydx = 2 z dzdx

Passo 5

Substituindo y e dydx na equação original, temos:
2 z dzdx = 4 z^2x + x z

Passo 6

Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por z (assumindo que z neq 0):
2 dzdx = 4 zx + x
Isso simplifica para:
dzdx = 2 zx + x2

Passo 7

Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma:
dzdx + P(x) z = Q(x)
onde:
P(x) = -2x
e
Q(x) = x2

Passo 8

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral -2x dx = e^-2 ln x = x^-2

Passo 9

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(x) = x^-2:
x^-2 dzdx - 2x^3 z = x^-12
Isso permite reescrever a equação como:
ddx ( x^-2 z ) = 12 x

Passo 10

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx ( x^-2 z ) dx = integral 12 x dx
Isso resulta em:
x^-2 z = 12 ln x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 11

Resolvendo para z:
z = x^2 ( 12 ln x + C )
Lembrando que z = raizy, temos:
raizy = x^2 ( 12 ln x + C )

Passo 12

Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar y:
y = x^4 ( 12 ln x + C )^2

Resposta

A solução geral da equação é:
y = x^4 ( 12 ln x + C )^2
onde C é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados