Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos a equação diferencial
. O assunto aqui é equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver essa equação, vamos identificar seu tipo e aplicar métodos apropriados, como substituições ou técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Dividindo os dois lados por
, temos:
Isso nos dá uma equação diferencial expressa em termos de
.
Passo 3
Agora, observamos os termos que envolvem
e
. Isso sugere que uma substituição pode simplificar a equação. Vamos tentar a substituição
. Assim, teremos:
Passo 4
Com essa substituição, precisamos expressar
em termos de
. Derivando
em relação a
, obtemos:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original, temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por
(assumindo que
):
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, identificamos que essa é uma equação diferencial linear da forma:
onde:
e
Passo 8
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Passo 9
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso permite reescrever a equação como:
Passo 10
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 11
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 12
Elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.