Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
(x+2 y-1) d x+(2 x-y-7) d y=0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado que a gente tem é:
(x + 2y - 1) , dx + (2x - y - 7) , dy = 0
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando $ dx $ e $ dy $. Chamamos elas de $ M $ e $ N $:
dx
dy

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente precisa verificar se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja, calcular:
M
y
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que é uma equação exata, vamos encontrar a função potencial $ \Phi(x, y) $ tal que:
Phi(x, y)
partial Phipartial x = M = x + 2y - 1
Primeiro, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
partial Phipartial y = N = 2x - y - 7
Aqui, $ C(y) $ é uma função de $ y $ que surge na integração.

Passo 5

Agora, vamos diferenciar $ \Phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N $:
Phi(x, y)
Comparando os dois lados:
y
Isso simplifica para:
N

Passo 6

Vamos integrar $ C’(y) $ em relação a $ y $ para encontrar $ C(y) $:
C'(y)
Onde $ K $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos $ C(y) $ de volta na expressão de $ \Phi(x, y) $:
C(y)

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é dada por $ \Phi(x, y) = constante $. Então temos:
Phi(x, y) = constante
Onde $ C $ é uma constante qualquer.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
12x^2 + 2y x - x - 12y^2 - 7y = C
Onde $ C $ é uma constante real.

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