Resolva a equação abaixo, identificando-a primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado que a gente tem é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se ela é exata e, se for, encontrar uma função potencial que satisfaça a equação. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando $ dx $ e $ dy $. Chamamos elas de $ M $ e $ N $:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa verificar se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ é igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja, calcular:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que é uma equação exata, vamos encontrar a função potencial $ \Phi(x, y) $ tal que:
Primeiro, vamos integrar $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ C(y) $ é uma função de $ y $ que surge na integração.
Passo 5
Agora, vamos diferenciar $ \Phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualar a $ N $:
Comparando os dois lados:
Isso simplifica para:
Passo 6
Vamos integrar $ C’(y) $ em relação a $ y $ para encontrar $ C(y) $:
Onde $ K $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos $ C(y) $ de volta na expressão de $ \Phi(x, y) $:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é dada por $ \Phi(x, y) = constante $. Então temos:
Onde $ C $ é uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante real.