Determine a solução de cada problema de valor inicial (ou equação):
© (y-e^2 y) y^prime=e^y sen x.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(y - e^2y),y' = e^y,sin x
Estamos num problema de EDO de primeira ordem e vamos usar o método de separação de variáveis, seguido de integração por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, escrevemos y' = dydx e separamos as variáveis:
(y - e^2y)dydx = e^ysin x
fica
y - e^2ye^y,dy = sin x,dx
ou seja
(y e^-y - e^y),dy = sin x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral(y e^-y - e^y),dy = integral sin x,dx

Passo 4

Para a integral no lado esquerdo, separamos em duas:
integral y e^-y,dy - integral e^y,dy
A segunda é direta: integral e^y dy = e^y.
Para a primeira, usamos integração por partes:
– tome u = y, dv = e^-ydy du = dy, v = -e^-y.
Então
integral y e^-y dy = uv - integral v,du = -y e^-y - integral(-e^-y) dy = -y e^-y - e^-y = -(y+1)e^-y

Passo 5

Juntando tudo e integrando o lado direito ( integralsin x,dx = -cos x), obtemos:
-(y+1)e^-y - e^y = -cos x + C
Multiplicando por -1) e recolocando a constante em C, chega-se à forma implícita comum:

Passo 6

Resposta

(y+1)e^{-y} + e^y = \cos x + C

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