Determine a solução de cada problema de valor inicial (ou equação):
©
.
©
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Estamos num problema de EDO de primeira ordem e vamos usar o método de separação de variáveis, seguido de integração por partes para resolver.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
e separamos as variáveis:
fica
ou seja
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
Passo 4
Para a integral no lado esquerdo, separamos em duas:
A segunda é direta:
.
Para a primeira, usamos integração por partes:
– tome ,
⇒
,
.
Então
Para a primeira, usamos integração por partes:
– tome
Então
Passo 5
Juntando tudo e integrando o lado direito (
), obtemos:
Multiplicando por
e recolocando a constante em
, chega-se à forma implícita comum:
Passo 6
Resposta
(y+1)e^{-y} + e^y = \cos x + C