Um tanque de 50 litros contém inicialmente 10 litros de água pura. No instante
, começa a entrar no tanque uma solução de salmoura contendo
de sal por litro, à razão de
, enquanto a mistura bem homogeinizada sai do tanque à razão
. (a) Determine o instante em que ocorre o transbordamento; (b) determine a quantidade de sal no tanque nesse instante.
Passo 1
A questão envolve um tanque de 50 L que, no instante t=0, contém 10 L de água pura. Entra uma solução de salmoura com concentração de 0,1 kg/L à vazão de 4 L/min e sai a mistura homogênea à vazão de 2 L/min. O conteúdo principal é equações diferenciais aplicadas a misturas em tanques: primeiro vamos achar o tempo de transbordamento via balanço de volume e depois a quantidade de sal via balanço de massa.
Passo 2
Para achar o instante de transbordamento, montamos a equação para o volume V(t):
Com condição inicial
, integramos:
Transbordamento ocorre quando
:
Passo 3
Para a massa de sal S(t), a entrada é
e a saída é a concentração no tanque
vezes 2 L/min, ou seja
. Assim:
É uma EDO linear. O fator integrante é
Multiplicando e integrando:
Como
, temos
, logo
Passo 4
Basta avaliar em
:
Resposta
(a) 20 minutos; (b) 4,8 kg de sal.