Um tanque de 50 litros contém inicialmente 10 litros de água pura. No instante t=0, começa a entrar no tanque uma solução de salmoura contendo 0,1 kg de sal por litro, à razão de 4 l / min, enquanto a mistura bem homogeinizada sai do tanque à razão 2 l / min. (a) Determine o instante em que ocorre o transbordamento; (b) determine a quantidade de sal no tanque nesse instante.

Passo 1

A questão envolve um tanque de 50 L que, no instante t=0, contém 10 L de água pura. Entra uma solução de salmoura com concentração de 0,1 kg/L à vazão de 4 L/min e sai a mistura homogênea à vazão de 2 L/min. O conteúdo principal é equações diferenciais aplicadas a misturas em tanques: primeiro vamos achar o tempo de transbordamento via balanço de volume e depois a quantidade de sal via balanço de massa.

Passo 2

Para achar o instante de transbordamento, montamos a equação para o volume V(t):
dVdt=vazão de entrada-vazão de saída=4-2=2 ããí
Com condição inicial V(0)=10, integramos:
V(t)=10+2t
Transbordamento ocorre quando V(t)=50:
10+2t=50implies t=20 min

Passo 3

Para a massa de sal S(t), a entrada é 4,L/mintimes0,1,kg/L=0,4,kg/min e a saída é a concentração no tanque S/V vezes 2 L/min, ou seja 2,S/(10+2t). Assim:
dSdt=0.4-2S10+2t
É uma EDO linear. O fator integrante é
mu(t)=expintegral210+2tdt=expintegral15+tdt=5+t
Multiplicando e integrando:
ddtl((5+t)Sr)=0.4(5+t)
(5+t)S=integral0.4(5+t)dt=2t+0.2t^2+C
Como S(0)=0, temos C=0, logo
S(t)=2t+0.2t^25+t

Passo 4

Basta avaliar em t=20:
S(20)=2cdot20+0.2cdot20^25+20=40+8025=12025=4.8,kg

Resposta

(a) 20 minutos; (b) 4,8 kg de sal.

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