Reta:
Minimize
Minimize
Passo 1
O enunciado pede o ponto da reta
que minimiza a distância ao ponto
, ou seja, minimiza
. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange) ou geometria de projeção de um ponto em reta.
Passo 2
Definimos a função objetivo
e a restrição
. Construímos o Lagrange
Passo 3
Impondo as condições de estacionariedade, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Das duas primeiras equações vemos que
e
, logo
implica
. Substituindo na restrição
dá
e assim
.
Passo 5
Verificamos que esse ponto fornece um mínimo e calculamos o valor mínimo:
.
Resposta
O ponto que minimiza é (3,3) e o valor mínimo de d² é 18.