Reta: x+y=6,(0,0)
Minimize d^2=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o ponto da reta x+y=6 que minimiza a distância ao ponto (0,0), ou seja, minimiza d^2 = x^2 + y^2. O conteúdo envolvido é otimização com restrição (multiplicadores de Lagrange) ou geometria de projeção de um ponto em reta.

Passo 2

Definimos a função objetivo f(x,y)=x^2+y^2 e a restrição g(x,y)=x+y-6=0. Construímos o Lagrange
L(x,y,lambda)=x^2+y^2 - lambda,(x+y-6)

Passo 3

Impondo as condições de estacionariedade, calculamos as derivadas parciais:
partial Lpartial x=2x-lambda=0, partial Lpartial y=2y-lambda=0, partial Lpartial lambda=-(x+y-6)=0

Passo 4

Das duas primeiras equações vemos que 2x=lambda e 2y=lambda, logo 2x=2y implica x=y. Substituindo na restrição x+y=6 2x=6 e assim x=y=3.

Passo 5

Verificamos que esse ponto fornece um mínimo e calculamos o valor mínimo: d^2=3^2+3^2=18.

Resposta

O ponto que minimiza é (3,3) e o valor mínimo de d² é 18.

Exercícios relacionados