Passo 1
O exercício nos dá uma equação diferencial linear de primeira ordem com termo forçante em regime de degrau: temos
com condição inicial
e
O conteúdo é “equações lineares de 1ª ordem” e vamos precisar usar o método do fator integrante e um tratamento por partes devido ao f(x) descontínuo.
Passo 2
Para a parte
, calculamos o fator integrante
. Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora integramos ambos os lados de 0 a
:
resultando em
Como
, temos
.
Passo 3
Isolando
para
vem
Passo 4
Para
, a força
, então a equação vira homogênea:
A solução geral dessa homogênea é
Passo 5
Para achar a constante
, impomos continuidade em
. Da solução no primeiro intervalo temos
Logo em
a solução homogênea deve valer o mesmo, ou seja
Passo 6
Portanto, para
a solução fica