l y^prime+y=f(x) y(0)=0 onde f(x)= 1, & se 0 <= x <= 1, 0, & se x>1

Passo 1

O exercício nos dá uma equação diferencial linear de primeira ordem com termo forçante em regime de degrau: temos
y'+y=f(x),
com condição inicial y(0)=0 e
f(x)=1,&0<= x<=1,0,&x>1
O conteúdo é “equações lineares de 1ª ordem” e vamos precisar usar o método do fator integrante e um tratamento por partes devido ao f(x) descontínuo.

Passo 2

Para a parte 0<= x<=1, calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral1,dx=e^x. Multiplicando a equação original por e^x obtemos
e^x y'+e^x y=(e^x y)'=e^xcdot1=e^x
Agora integramos ambos os lados de 0 a x:
integral0^x (e^t y(t))',dt=integral0^x e^t,dt
resultando em
e^x y(x)-e^0y(0)=e^x-1
Como y(0)=0, temos e^x y(x)=e^x-1.

Passo 3

Isolando y(x) para 0<= x<=1 vem
y(x)=1-e^-x

Passo 4

Para x>1, a força f(x)=0, então a equação vira homogênea:
y'+y=0
A solução geral dessa homogênea é
y(x)=C e^-x

Passo 5

Para achar a constante C, impomos continuidade em x=1. Da solução no primeiro intervalo temos
y(1)=1-e^-1
Logo em x=1 a solução homogênea deve valer o mesmo, ou seja
C e^-1=1-e^-1implies C=e,(1-e^-1)=e-1

Passo 6

Portanto, para x>1 a solução fica
y(x)=(e-1)e^-x

Resposta

y(x)= 1-e^-x,&0<= x<=1, (e-1)e^-x,&x>1

Exercícios relacionados