Determine a solução de cada um dos problemas de Cauchy (ou do valor inicial):
(cos t) x' - (sen t) x = 1, x(2 pi) = pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial, também conhecido como problema de Cauchy. A gente vai resolver uma equação diferencial do tipo:
com a condição inicial .
Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Basicamente, vamos transformar a equação numa forma que facilite encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Dividindo ambos os lados da equação original por cos(t), temos:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, transforma a parte esquerda numa derivada fácil de integrar.
O fator integrante é dado por:
Substituindo P(t):
Sabemos que , então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Simplificando:
Perceba que isso nos leva de volta à equação original, confirmando que nosso fator integrante está correto.

Passo 5

Com o fator integrante, a parte esquerda da equação se torna a derivada de :
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a t:
Isso resulta em:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para x(t) dividindo ambos os lados por cos(t):

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar o valor de C. Sabemos que quando , :
Sabemos que , então:
Resolvendo para C:

Resposta

A solução do problema de Cauchy é:

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