Dê as soluções das equações diferenciais de 1_a ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
y' = (1 - y)(2 - y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais de Primeira Ordem, e para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação nos diz. representa a derivada de em relação a . A equação é uma equação diferencial que relaciona a taxa de mudança de com mesmo.

Passo 3

Nossa meta é encontrar uma expressão para em função de . Para isso, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Fazemos isso dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, precisamos integrar ambos os lados para encontrar em função de . A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais. Vamos decompor em frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Resolvendo para e , encontramos e . Então:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados:
As integrais ficam:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Podemos combinar os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Onde ainda é uma constante.

Passo 7

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial nos dois lados:
Podemos simplificar removendo o valor absoluto e incluindo a constante :

Passo 8

Agora, resolvemos para . Expandindo o lado esquerdo:
Então:
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

As soluções gerais da equação diferencial são , onde é uma constante real, definindo de forma implícita para em todo o domínio real.

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