Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial de primeira ordem
. Isso está na área de Equações Diferenciais, mais especificamente em equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação diferencial separável. É uma equação onde podemos reorganizar os termos para que todas as expressões com
fiquem de um lado e todas as com
fiquem do outro lado. No nosso caso, temos:
Que tal dividir ambos os lados por
e multiplicar por
para separar as variáveis?
Passo 3
Fazendo essa separação, temos:
Lembrando que
, podemos reescrever como:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para facilitar a integração:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa igualdade. A integral de
é
e a integral de
é
. Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para simplificar a expressão, podemos elevar ambos os lados como potência de
:
Sabendo que
e
, podemos escrever:
Podemos simplificar
para uma nova constante
, então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é
, onde
é uma constante real. O domínio máximo para essa solução é
.